Τζον φον Νόιμαν

Ένας από τους σπουδαιότερους μαθηματικούς του εικοστού αιώνα, ο γεννημένος στην Ουγγαρία Γιάνος Νόιμαν (Janos Neumann, 28 Δεκεμβρίου 1903 – 8 Φεβρουαρίου 1957), (περισσότερο γνωστός ως Τζον φον Νόιμαν – τον γερμανικό τίτλο φον τον αγόρασε ο πατέρας του το 1913), προσέφερε σε πάμπολλους κλάδους, όπως μαθηματικά, φυσική, οικονομικά, πληροφορική. Από μικρό παιδί έδειξε τα μεγάλα του χαρίσματα, όταν σε ηλικία 6 ετών μπορούσε να διαιρέσει 8ψήφιους αριθμούς από μνήμης, και να απαγγέλλει από μνήμης αρχαίους κλασσικούς. Σε ηλικία 8 ετών ήξερε ήδη μαθηματική ανάλυση. Σε ηλικία 23 ετών δίδασκε στο Πανεπιστήμιο του Βερολίνου, όπου και ήταν ο νεότερος καθηγητής που υπήρξε ποτέ. Στην ίδια ηλικία απέκτησε το διδακτορικό του στα μαθηματικά από το Πανεπιστήμιο της Βουδαπέστης.

To 1930 όταν ο Χίτλερ ανέβηκε στην εξουσία, η οικογένεια του και αυτός μετακόμισαν στις Η.Π.Α.. Παρόλο που οι επιστήμονες της εποχής δεν φημίζονταν για την επιμέλεια στο ντύσιμό τους, ο Τζον φον Νόιμαν ήταν ντυμένος πάντα άψογα και του άρεσε το ποτό και το φαγητό. Μέχρι τα 25 του είχε δημοσιοποιήσει 10 σημαντικές εργασίες και, μέχρι τα 30 του, γύρω στις 36. Το 1933 του προτάθηκε από το Πανεπιστήμιο Πρίνστον μια θέση καθηγητή στο Ινστιτούτου Προηγμένων Ερευνών (Institute for Advanced Study) την οποία δέχτηκε και βρέθηκε μαζί με γνωστούς επιστήμονες της εποχής όπως ο Άλμπερτ Αινστάιν, ο Κουρτ Γκέντελ κ.α. Ακολούθως το 1937 απέκτησε την αμερικανική υπηκοότητα ενώ το 1938 του απονεμήθηκε το Βραβείο Bôcher.

Παντρεύτηκε δύο φορές. Η πρώτη του σύζυγος ήταν η Μαριέτ Κιοβέσι με την οποία παντρεύτηκαν το 1930 και απέκτησαν ένα παιδί, τη Μαρίνα φον Νόιμαν, η οποία είναι διακεκριμένη καθηγήτρια στο Πανεπιστήμιο Μίσιγκαν, ενώ χώρισαν το 1937. Ένα χρόνο μετά το διαζύγιο του(το 1938) παντρεύτηκε την Κλάρα Νταν.

Ο φον Νόιμαν διαγνώστηκε με καρκίνο στα οστά ή στο πάγκρεας το 1957, πιθανότατα από την υπερβολική του έκθεση σε ραδιενέργεια, όταν παρατηρούσε τις δοκιμές της ατομικής βόμβας στον Ειρηνικό, ή κατά τη μετέπειτα εργασία του με πυρηνικά όπλα στο Λος Άλαμος. Πέθανε λίγους μήνες μετά τη διάγνωση του από υπερβολικούς πόνους. Έγραψε 150 δημοσιοποιημένα άρθρα σε όλη του την ζωή: 60 σε καθαρά μαθηματικά, 20 στη φυσική και 60 σε εφαρμοσμένα μαθηματικά.

Ξεκίνημα
Μεταξύ 1926 και 1930 δίδαξε ως λέκτορας στο Πανεπιστήμιο του Βερολίνου και έγινε ο νεότερος λέκτορας στην ιστορία του Πανεπιστημίου. Στα τέλη του 1927 ο Φον Νόιμαν είχε δημοσιεύσει δώδεκα σημαντικά θέματα στα μαθηματικά και στα τέλη του 1929 τριανταδύο θέματα, σε ρυθμό περίπου ενός θέματος τον μήνα. Η εξουσία των εικασιών του Νόιμαν του επέτρεψαν να διηγείται όγκους πληροφοριών, ακόμα και ολόκληρους καταλόγους με μεγάλη ευκολία.

Το 1930,ο Νόιμαν προσκλήθηκε στο Πανεπιστήμιο του Πρίνστον. Μέσα στο 1933 του προσφέρθηκε μια θέση στην σχολή του Ινστιτούτου για Προηγμένες Γνώσεις, όταν το πλάνο του Ινστιτούτου ήταν να διορίσει τον Χέρμαν Γουέιλ. Ο Νόιμαν παρέμεινε καθηγητής μαθηματικών εκεί μέχρι τον θάνατό του. Η μητέρα του και τα αδέρφια του τον ακολούθησαν στις Η.Π.Α. Ο πατέρας του, Μαξ, είχε πεθάνει το 1929. Μετέτρεψε το πρώτο του όνομα σε Γιάνος, διατηρώντας το Γερμανικό αριστοκρατικό επώνυμο Φον Νόιμαν. Μέσα στο 1937 ο Νόιμαν έγινε πολιτογραφημένος πολίτης των Η.Π.Α. Το 1938 βραβεύτηκε με το Bôcher Memorial Prize για τη εργασία και την ανάλυσή του.

Προσωπική ζωή και Σπουδές
Ο Φον Νόιμαν γεννήθηκε με το όνομα Νόιμαν Γιάνος Λάγιος (στα Ουγγρικά το όνομα μπαίνει πρώτο) στη Βουδαπέστη την περίοδο της Αυστρο-Ουγγρικής Αυτοκρατορίας, σε εύπορη εβραϊκή οικογένεια. Ήταν ο μεγαλύτερος από τους τρεις αδερφούς. Ο πατέρας του, Νόιμαν Μιξά (Μαξ Νόιμαν) ήταν τραπεζικός με διδακτορικό στην νομική. Μετακόμισε στην Βουδαπέστη από το Πεξ στα τέλη του 1880.Ο πατέρας του Μιξά (1839) και ο παππούς του (Μάρτον) γεννήθηκαν στο Οντ (τώρα πια περιοχή της πόλης Τσέρενς), στη Ζεπλέν, στη βόρεια Ουγγαρία. Η μητέρα του Νόιμαν λεγόταν Καν Μαργκίτ (Μάργκαρετ Καν).

Οι γονείς της ήταν ο Τζακάμπ Καν II ((Πέστη, τώρα πια Βουδαπέστη) 1845–1928) και η Κάταλιν Μισέλς (Munkács, Kárpátalja 1854–1914). Το 1913, στον πατέρα του απονεμήθηκε τίτλος ευγενείας για την προσφορά του στην Αυστρο-Ουγγρική Αυτοκρατορία από τον Aυτοκράτορα Φραντς Γιόζεφ. Έτσι η οικογένεια Νόιμαν απέκτησε τον τίτλο μαργκιτάι και ο Γιάνος Νόιμαν μετονομάστηκε σε μαργκιτάι Γιάνος Νόιμαν (Γιάνος Νόιμαν των Μαργκιτάι), ο οποίος αργότερα άλλαξε το όνομά του στο γερμανικό Γιόχαν Φον Νόιμαν.

Ήταν παιδί θαύμα στους τομείς της γλώσσας,της απομνημόνευσης,της μνήμης και των μαθηματικών. Σαν 6χρονος μπορούσε να διαιρέσει με το μυαλό του δύο οκταψήφιους αριθούς. Από τα 8 του ήταν εξοικειωμένος με τον διαφορικό και τον ολοκληρωτικό λογισμό.

Ο Φον Νόιμαν ήταν μέρος μιας γενιάς της Βουδαπέστης που φημιζόταν για την πνευματικότητα: γεννήθηκε στην Βουδαπέστη περίπου την ίδια περίοδο με τον Θέοντορ φον Καρμάν (Theodore von Kármán, 1881), τον Τζορτζ ντε Χεβεσί (1885), τον Λέο Ζίλαρντ (γ. 1898),τον Γιουτζίν Βίγκνερ (1902), τον Έντουαρτ Κέλλερ (1908) και τον Πολ Έρντος (1913).

Ο Γιάνος μπήκε στο γερμανόφωνο Λουθηρανικό γυμνάσιο {Fasori Evangelikus Gimnázium) στην Βουδαπέστη το 1911. Παρ’ όλο που ο πατέρας του επέμενε πως φοιτά σε ένα σχολείο υψηλότερου επιπέδου από αυτό της ηλικίας του, συμφώνησε να προσλάβει ιδιωτικούς εκπαιδευτικούς για να του προσφέρουν προηγμένες γνώσεις στους τομείς που εμφάνιζε ικανότητα. Στην ηλικία των 15 ξεκίνησε να διαβάζει προηγμένο λογισμό στο πλαίσιο του φημισμένου αναλυτή Γκαμπόρ Ζεγκιό. Στην πρώτη τους συνάντηση ο Ζεγκιό έμεινε έκπληκτος με το μαθηματικό ταλέντο του αγοριού, σε βαθμό που δάκρυσε.

Ο Ζεγκιό έπειτα επισκεπτόταν το σπίτι του Φον Νόιμαν δύο φορές την βδομάδα για να κάνει μάθημα με το παιδί-θαύμα. Κάποιες από τις άμεσες λύσεις του Νόιμαν στα προβλήματα λογισμού που έθετε ο Ζεγκιό,γράφτηκαν σε χαρτιά του πατέρα του, και εξακολουθούν να βρίσκονται ακόμα στο αρχείο του Φον Νόιμαν στην Βουδαπέστη. Από την ηλικία των 19,ο Φον Νόιμαν δημοσίευσε δύο μείζονα μαθηματικά θέματα, το δεύτερο από τα οποία έδωσε τον σύγχρονο ορισμό της διάταξης των αριθμών,και αντικατέστησε τον ορισμό του Γκέοργκ Κάντορ (Georg Cantor).

Τελείωσε το διδακτορικό του στα μαθηματικά από το Eötvös Loránd University|Pázmány Péter University στην Βουδαπέστη σε ηλικία 22 ετών. Ταυτόχρονα πήρε ένα δίπλωμα στην μηχανική χημεία απο το ETH Zurich στην Ελβετία μετά από αίτημα του πατέρα του, που ήθελε ο γιος του να τον ακολουθήσει στη βιομηχανία και ως εκ τούτου, να επενδύσει το χρόνο του σε μια πιο οικονομικά χρήσιμη προσπάθεια από τα μαθηματικά. Το «Life Magazine» δήλωσε ότι έλαβε τόσο τις προπτυχιακές σπουδές του όσο και το διδακτορικό του στο 21ο έτος της ηλικίας του.

Θεωρία των Συνόλων
Το πρόβλημα μιας επαρκούς μορφοποίησης της θεωρίας των συνόλων είχε επιλυθεί περίπου είκοσι χρόνια αργότερα (από τον Ερνστ Ζέρμελο και τον Αμπραχάμ Φράνκελ). Οι Ζέρμελο και Φράνκελ δημιούργησαν την Θεωρία συνόλων Ζέρμελο-Φράνκελ, μια σειρά από αρχές που επιτρέπονταν για την κατασκευή των σειρών που χρησιμοποιούνταν στην καθημερινή πρακτική των μαθηματικών. Αλλά δεν απέκλεισαν ρητά τη δυνατότητα της ύπαρξης ενός συνόλου που ανήκει στον εαυτό του. Στην διδακτορική διατριβή του το 1925, ο Φον Νόιμαν απέδειξε δύο τεχνικές για να εξαιρέσετε αυτά τα σύνολα:to axiom of foundation και με την έννοια της κλάσης.

To αξίωμα της θεμελίωσης καθόρισε ότι κάθε σύνολο μπορεί να κατασκευαστεί από τα κάτω προς τα πάνω με ένα διατεταγμένο τρόπο διαδοχικών βημάτων σύμφωνα με τις αρχές του Ζέρμελο και του Φράνκελ, με τέτοιο τρόπο ώστε αν κάποιο σύνολο ανήκει σε άλλο σύνολο, τότε το πρώτο πρέπει υποχρεωτικά να έρχεται πριν από το δεύτερο στην διαδοχή (με εξαίρεση τη δυνατότητα ενός συνόλου να ανήκει στον εαυτό του). Για να αποδείξει ότι η προσθήκη του νέου αυτού αξιώματος για δεν δέχεται αντιφάσεις, ο Φον Νόιμαν εισήγαγε τη μέθοδο της επίδειξης (που ονομάζεται μέθοδος των εσωτερικών μοντέλων), που αργότερα έγινε ένα σημαντικό εργαλείο της θεωρίας. Η δεύτερη προσέγγιση στο πρόβλημα έλαβε ως βάση την έννοια της κατηγορίας, και ορίζει ένα σύνολο ως μια κλάση που ανήκει σε άλλες κλάσεις, ενώ η ορθή κλάση ορίζεται ως μια κατηγορία που δεν ανήκουν σε άλλες κλάσεις. Στο πλαίσιο της Ζέρμελο-Φράνκελ προσέγγισης,τα αξιώματα εμπόδισαν την κατασκευή ενός συνόλου όλων των υπόλοιπων που δεν ανήκαν στον εαυτό τους. Αντίθετα, στο πλαίσιο της προσέγγισης του Φον Νόιμαν, η κλάση όλων των συνόλων που δεν ανήκουν στον εαυτό τους μπορεί να κατασκευαστεί, αλλά ονομάζεται «κατάλληλη» κλάση και όχι σύνολο.

Με αυτή τη συμβολή του Φον Νόιμαν, το αναμφισβήτητο σύστημα της θεωρίας των συνόλων έγινε πλήρως ικανοποιητικό,και το επόμενο ερώτημα είναι κατά πόσο ή όχι ήταν οριστικό και δεν δεχόταν βελτίωση. Μία έντονα αρνητική απάντηση έφθασε τον Σεπτέμβριο του 1930 στο ιστορικό μαθηματικό συνέδριο του Κιόνιγκσμπεργκ, στο οποίο ο Καρτ Γκιόντελ ανακοίνωσε την πρώτη έλλειψη της θεωρίας:συνήθως τα αναμφισβήτητα συστήματα είναι ελλειπή, με την έννοια ότι δεν μπορεί να αποκαλυφθεί το πραγματικό λόγω της έκφρασης της εκάστοτε γλώσσας. Αυτό ήταν αρκετά πρωτοποριακό για να μπερδευτεί η πλειοψηφία των μαθηματικών της εποχής.

Αλλά Νόιμαν, ο οποίος είχε συμμετάσχει στο Κογκρέσο, επιβεβαίωσε την φήμη ως μια στιγμιαία στοχαστή, και σε λιγότερο από ένα μήνα ήταν σε θέση να επικοινωνήσει με τον Gödel για μια ενδιαφέρουσα απόρροια του προγράμματος theorem: ότι δηλαδή τα συνήθη αξιώματα δεν είναι σε θέση να αποδείξουν την δική τους συνοχή. Ωστόσο ο Γκόντελ είχε ήδη ανακαλύψει αυτό το αποτέλεσμα (γνωστή ως η δεύτερη ημιτελής του θεωρία) και έστειλε στον Νόιμαν σε preprint τα ελλειπή θεωρήματα. Ο Νόιμαν αναγνώρισε αυτή την κίνηση στο επόμενο γραμμα.

Γεωμετρία
Ο Φον Νόιμαν ίδρυσε τον τομέα της Συνεχούς Γεωμετρίας.Αυτό ακολούθησε την καινοτόμα εργασία του στους τελεστές δακτυλίων.Στα μαθηματικά , η συνεχής γεωμετρία είναι ανάλογη τις μιγαδικής προβολικής γεωμετρίας , οπου αντί η διάσταση ενός υποχώρου να είναι σε ένα διακριτό σύνολο 0,1,…,n μπορεί να είναι στοιχείο του συνόλου [0,1]. Ο Φόν Νόιμαν βρήκε κίνητρο απο την ανακάλυψη του, την Άλγεβρα Φόν Νόιμαν με μια συνάρτηση διάστασης να παίρνει τιμές απο ενα συνεχές φάσμα διαστάσεων, και το πρώτο παράδειγμα μιας συνεχούς γεωμετρίας ήταν οι προβολές του υπεράπειρου παράγοντα τύπου 2.

Θεωρία Μέτρου
Σε μια σειρά διάσημων δημοσιεύσεων ο Φόν Νόιμαν συνείσφερε πολλά στη Θεωρία μέτρου. Η διατριβή του Μπανάχ είχε δείξει οτι το πρόβλημα του μέτρου έχει θετική λύση αν n=1 ή n=2 και αρνητική λύση σε όλες τις άλλες περιπτώσεις. Η διατριβή του Φόν Νόιμαν διαφώνησε με το γεγονός ότι ο χαρακτήρας του προβλήματος είναι απαραίτητα θεωρίας ομάδων και οτι για τη δυνατότητα επίλυσης του προβλήματος του μέτρου, οι κοινές αλγεβρικές αντιλήψεις της δυνατότητας επίλυσης ομάδων είναι σχετικές. Έτσι, σύμφωνα με τον Φόν Νόιμαν, είναι η αλλαγή της ομάδας που κάνει τη διαφορά, όχι η αλλαγή του χώρου. Σε έναν αριθμό δημοσιεύσεων του Φόν Νόιμαν, οι μέθοδοι που διαφωνούσε ήταν πιο αξιόλογες από τα αποτελέσματα. Εν αναμονή της μετέπειτα διατριβής του στη θεωρία διαστάσεων αλγεβρικών τελεστών, χρησιμοποίησε τα αποτελέσματα σχετικά με την ισοδυναμία της πεπερασμένης αποσύνθεσης και επαναδιατύπωσε το πρόβλημα του μέτρου όσον αφορά τις συναρτήσεις (αναμένοντας την μετέπειτα εργασία του στη Μαθηματική διατύπωση της κβαντικής μηχανικής σε μερικώς περιοδικές συναρτήσεις).

Στην δημοσίευση του το 1936, σχετικά με την αναλυτική θεωρία μέτρου, χρησιμοποίησε το θεώρημα Χάαρ για την επίλυση του πέμπτου προβλήματος Χίλμπερτ της περίπτωσης των συμπαγών ομάδων.

Μαθηματική διατύπωση Κβαντικής Μηχανικής
Ο Φον Νόιμαν ήταν ο πρώτος που αυστηρά ίδρυσε το μαθηματικό πλαίσιο για την κβαντική μηχανική, γνωστό και ως αξιώματα Ντίρατς-Φον Νόιμαν, με την εργασία του το 1932 Μαθηματικές βάσεις στην κβαντομηχανική. Αφού ολοκλήρωσε τα αξιώματα της θεωρίας συνόλων, ο Φον Νόιμαν άρχισε να ασχολείται με τα αξιώματα της κβαντομηχανικής. Διαπίστωσε αμέσως, το 1926,ότι το κβαντικό σύστημα θα μπορούσε να θεωρηθεί και ενα μέρος των Χώρων Χίλμπερτ, ανάλογο με την 6Ν διάσταση (όπου Ν είναι ο αριθμός των σωματιδίων, 3 γενικές συντεταγμένες και 3 κανονικές ορμές για το καθένα) φάση χώρου της κλασσικής μηχανικής αλλά με απείρως πολλών διαστάσεων( αντιστοιχίζοντας τους άπειρους χώρους στο σύστημα) αντί: των φυσικών ποσοτήτων (όπως, θέση και ορμή) ως εκ τούτου θα μπορούσε να αντιπροσωπεύεται από ειδικούς γραμμικούς φορείς λειτουργίας στον χώρο. Η φυσική της κβαντομηχανικής εκ τούτου έχει μειωθεί σε μαθηματικούς γραμμικούς Ερμιτιανούς φορείς στους χώρους Χίλμπερτ.Για παράδειγμα, η αρχή της αβεβαιότητας, σύμφωνα με την οποία ο προσδιορισμός της θέσης ενός σωματιδίου εμποδίζει τον προσδιορισμό της ορμής του και αντιστρόφως, μεταφράζεται σε μη αντιμεταθετικότητα των δύο αντίστοιχων φορέων.Αυτή η νέα μαθηματική διατύπωση που περιλαμβάνονται ως ειδικές περιπτώσεις τα σκευάσματα από Χἀιζενμπερκ και Σχοντρινγκερ.Αφηρημένη θεραπεία του Φον Νόιμαν του επέτρεψε να αντιμετωπίσουμε το θεμελιώδες ζήτημα του ντετερμινισμού έναντι μη , και στο βιβλίο παρουσίασε μια απόδειξη ότι τα στατιστικά αποτελέσματα της κβαντομηχανικής δεν θα μπορούσαν ενδεχομένως να είναι οι μέσοι όροι ενός υποκείμενου συνόλου «κρυφές μεταβλητές», όπως στην κλασική στατιστική μηχανική. Το 1966, ο Τζων Σ. Μπελ δημοσίευσε ένα έγγραφο υποστηρίζοντας ότι η απόδειξη περιείχε ένα εννοιολογικό λάθος και ως εκ τούτου ήταν άκυρη (βλ. το άρθρο για τον Τζων Στιούαρτ Μπελ για περισσότερες πληροφορίες). Ωστόσο, το 2010, ο Τζέφρι Μπαμπ υποστήριξε ότι ο Μπελ παρερμήνευσε απόδειξη Φον Νόιμαν, καθώς και επεσήμανε ότι η απόδειξη, αν και δεν ισχύει για όλες τις κρυμμένες μεταβλητές θεωρίες, δεν αποκλείει μια καλά καθορισμένη και σημαντική υποσυνόλου.Ο Μπαμπ δείχνει επίσης ότι Φον Νόιμαν είχε επίγνωση αυτού του περιορισμού, και ότι δεν ισχυρίστηκε ότι η απόδειξη του έχει αποκλειστεί εντελώς από τις κρυμμένες μεταβλητές θεωρίες.Σε κάθε περίπτωση, η απόδειξη εγκαινίασε την αρχή της έρευνας που οδήγησε τελικά, μέσα από το έργο του Μπελ το 1964 σχετικά με το θεώρημα του Μπελ, και τα πειράματα του Άλλεν Άσπεκτ το 1982, με την επίδειξη ότι η κβαντική φυσική, είτε απαιτεί μια αντίληψη της πραγματικότητας είτε διαφέρει ουσιαστικά από εκείνη της κλασικής φυσικής, ή πρέπει να περιλαμβάνει τη μη-τοπική σε προφανή παραβίαση της ειδικής σχετικότητας.Σε ένα κεφάλαιο της μαθηματικής θεμελίωσης της Κβαντομηχανικής, Φον Νόιμαν ανέλυσε σε βάθος το λεγόμενο πρόβλημα της μέτρησης. Κατέληξε στο συμπέρασμα ότι το σύνολο της φυσικής θα μπορούσε να εξαρτάται από την λειτουργία του καθολικού κύματος. Δεδομένου ότι κάτι «έξω από τον υπολογισμό του» ήταν απαραίτητη για να καταρρεύσει η κυματοσυνάρτηση, Φον Νόιμαν κατέληξε στο συμπέρασμα ότι η κατάρρευση προκλήθηκε από τη συνείδηση του πειραματιστή (αν και αυτή η άποψη αυτή έγινε δεκτή από τον Eugene Wigner, και ποτέ δε γνώρισε μεγάλη αποδοχή από την πλειοψηφία των φυσικών).Αν και οι θεωρίες της κβαντικής μηχανικής συνεχίζουν να εξελίσσονται μέχρι σήμερα, υπάρχει ένα βασικό πλαίσιο για τον μαθηματικό φορμαλισμό των προβλημάτων στην κβαντική μηχανική που κρύβεται πίσω από την πλειοψηφία των προσεγγίσεων και μπορούν να αναχθούν στους μαθηματικούς φορμαλισμούς και τεχνικές που χρησιμοποιούνται για πρώτη φορά από τον Φον Νόιμαν. Με άλλα λόγια, οι συζητήσεις σχετικά με την ερμηνεία της θεωρίας, και επεκτάσεων σε αυτό, τώρα ως επί το πλείστον πραγματοποιούνται οι επί της βάσης κοινών υποθέσεων για τις μαθηματικές βάσεις.

Θεωρία Παιγνίων
Ο φον Νόιμαν θεώρησε τον τομέα της θεωρίας παιγνίων, ως έναν χώρο στον οποίο επικρατεί μαθηματική πειθαρχία.Ο φον Νόιμαν απέδειξε το 1928 το θεώρημα ελαχιστοποίησης μεγίστου. Το θεώρημα αυτό ορίζει ότι σε ένα παιχνίδι μηδενικού αθροίσματος με τέλεια πληροφόρηση (δηλαδή, ο κάθε παίκτης γνωρίζει την κάθε στιγμή όλες τις κινήσεις που έχουν πραγματοποιηθεί μέχρι στιγμής), υπάρχει ένα ζεύγος στρατηγικών και για τους δύο παίκτες η οποία επιτρέπει στον καθένα να ελαχιστοποιεί τις μέγιστες απώλειες του (ως εκ τούτου και το όνομα ελαχιστοποίησης μεγίστου). Όταν εξετάζει την κάθε δυνατή στρατηγική, ο παίκτης πρέπει να υπολογίζει όλες τις δυνατές κινήσεις του αντιπάλου του. Τότε ο παίκτης παίζει με την στρατηγική η οποία θα έχει ως αποτέλεσμα την ελαχιστοποίηση των μέγιστων απωλειών του.

Τέτοιου είδους στρατηγικές, που ελαχιστοποιούν τις μέγιστες απώλειες για κάθε παίκτη ονομάζονται βέλτιστες. Ο φον Νόιμαν έδειξε ότι οι ελαχιστοποιήσεις μεγίστου είναι ίσες (κατά απόλυτη τιμή) και αντίθετες (στο πρόσημο). Ο φον Νόιμαν βελτίωσε και επέκτεινε το θεώρημα ελαχιστοποίησης-μεγίστου να περιλαμβάνει παιχνίδια που σχετίζονται με ατελή πληροφόρηση και με περισσότερους από δύο παίκτες, δημοσιεύοντας αυτό το αποτέλεσμα του, το 1944: Θεωρία Παιγνίων και Οικονομική Συμπεριφορά (γράφτηκε μαζί με τον Όσκαρ Μόργκενστερν). Το ενδιαφέρον που προκάλεσε δημόσια αυτό το έργο, αντικατοπτρίζεται στο ότι οι New York Times το δημοσίευσαν ως πρωτοσέλιδο. Σε αυτό το βιβλίο ο φον Νόιμαν δηλώνει ότι στην οικονομική θεωρία είναι αναγκαίο να χρησιμοποιηθούν μέθοδοι της συναρτησιακής ανάλυσης, ειδικότερα τα κυρτά σύνολα και το θεώρημα του σταθερού σημείου από την τοπολογία, αντί του παραδοσιακού δΙαφορικού λογισμού, επειδή η μεγιστοποίηση τελεστών δεν εξασφαλίζει διαφορίσιμες συναρτήσεις.

Ανεξάρτητα από αυτό, ο Leonid Kantorovich ο οποίος εργάσθηκε με βάση τη συναρτησιακή ανάλυση πάνω στα μαθηματικά οικονομικά επίσης επικέντρωσε την προσοχή του πάνω στη θεωρία βελτιστοποίησης,μη διαφορισιμότητα , και διανύσματα σε δικτυωτά πλέγματα.Οι τεχνικές της συναρτησιακής ανάλυσης του φον Νόιμαν -η χρήση της δυϊκότητας ζευγών σε πραγματικούς διανυσματικούς χώρους που αντιπροσωπεύουν τις τιμές και τις ποσότητες, η χρήση της στήριξης και της διαχωρισιμότητας υπερεπιπέδων και κυρτών συνόλων ,και το θεώρημα του σταθερού σημείου -υπήρξαν πρωτεύοντα εργαλεία των μαθηματικών οικονομικών από τότε και στο εξής. Ο φον Νόιμαν ήταν επίσης ο εφευρέτης της μεθόδου της απόδειξης, που χρησιμοποιείται στη θεωρία παιγνίων, γνωστό και ως προς τα πίσω επαγωγή (την οποία δημοσίευσε για πρώτη φορά το 1944 στο βιβλίο που συνέγραψε με τον Morgenstern, Θεωρία των Παιγνίων και Οικονομικής Συμπεριφοράς. Ο Morgenstern έγραψε ένα βιβλίο σχετικά με τη θεωρία παιγνίων και σκέφτηκε ότι θα έπρεπε να το δείξει στον φον Νόιμαν, λόγω του ενδιαφέροντός του για το θέμα. Το διάβασε και είπε στον Morgenstern ότι πρέπει να γράψει περισσότερο σε αυτό. Αυτό επαναλήφθηκε αρκετές φορές, και στη συνέχεια ο φον Νόιμαν έγινε ο συγγραφέας και η δημοσίευση έγινε 100 σελίδες. Στη συνέχεια, έγινε βιβλίο.

Μαθηματική οικονομία
Ο φον Νόιμαν έθεσε το πνευματικό και μαθηματικό επίπεδο της οικονομίας σε πολλές εκπληκτικές δημοσιεύσεις. Για το μοντέλο του για μια αναπτυσσόμενη οικονομία, ο φον Νόιμαν απέδειξε την ύπαρξη και την μοναδικότητα μιας ισορροπίας χρησιμοποιώντας τη γενίκευση του θεωρήματος σταθερού σημείου του Μπρούερ. Το μοντέλο του φον Νόιμαν για μια αναπτυσσόμενη οικονομία θεωρείται το μολύβι μήτρας A – λΒ με μη αρνητικούς πίνακες Α και Β: ο φον Νόιμαν ζήτησε φορείς πιθανότητας p και q και ένα θετικό αριθμό λ που θα λύσει την εξίσωση της συμπληρωματικότητας

pT (Α – λ Β) q = 0,

μαζί με δύο συστήματα ανισότητα που εκφράζουν την οικονομική αποτελεσματικότητα. Σε αυτό το μοντέλο, ο (μεταφερόμενος) φορέας πιθανότητα p αντιπροσωπεύει τις τιμές των εμπορευμάτων, ενώ το διάνυσμα πιθανότητας q αντιπροσωπεύει την «ένταση» με την οποία η παραγωγική διαδικασία θα τρέξει. Η μοναδική λύση λ αντιπροσωπεύει τον αυξητικό παράγοντα που είναι 1 συν τον ρυθμό ανάπτυξης της οικονομίας: ο ρυθμός ανάπτυξης ισούται με το επιτόκιο. Αποδεικνύοντας την ύπαρξη ενός θετικού ρυθμού ανάπτυξης και αποδεικνύοντας ότι ο ρυθμός ανάπτυξης ισούται με το επιτόκιο ήταν αξιοσημείωτα επιτεύγματα, ακόμη και για τον φον Νόιμαν.

Τα αποτελέσματα του φον Νόιμαν έχουν θεωρηθεί ως μια ειδική περίπτωση του γραμμικού προγραμματισμού, όπου το μοντέλο του φον Νόιμαν χρησιμοποιεί μόνο μη αρνητικούς πίνακες. Η μελέτη του μοντέλου του φον Νόιμαν για μια αναπτυσσόμενη οικονομία συνεχίζει να ενδιαφέρουν μαθηματικούς οικονομολόγους με συμφέροντα στην υπολογιστική οικονομία. Αυτό το έγγραφο έχει ονομαστεί το μεγαλύτερο χαρτί με μαθηματική οικονομία από διάφορους συγγραφείς, οι οποίοι αναγνώρισαν την εισαγωγή των θεωρημάτων σταθερού σημείου, γραμμικών ανισοτήτων, συμπληρωματικής χαλαρότητας και σημείο δυαδικότητας. Στις εργασίες του συνεδρίου με το μοντέλο ανάπτυξης του φον Νόιμαν, ο Πολ Σάμουελσον είπε ότι πολλοί μαθηματικοί είχαν αναπτύξει μεθόδους χρήσιμες για οικονομολόγους, αλλά ότι ο φον Νόιμαν ήταν μοναδικός έχοντας κάνει σημαντικές συνεισφορές στην ίδια την οικονομική θεωρία.

Η διαρκής σημασία των εργασιών για τη γενική ισορροπία και τη μεθοδολογία του σταθερού σημείου θεωρήματα υπογραμμίζεται από την απονομή των βραβείων Νόμπελ το 1972 για τον Κένεθ Άρροου, το 1983 για τον Ζεράρ Ντεμπριού, και το 1994 για τον John Nash που χρησιμοποίησαν τα θεωρήματα σταθερού σημείου για τη δημιουργία ισορροπίας για μη-συνεργασία παιχνιδιών και για τα προβλήματα διαπραγμάτευσης στη διδακτορική του διατριβή. Οι Άρροου και Ντεμπριού χρησιμοποίησαν επίσης γραμμικό προγραμματισμό, όπως έκανε και νομπελίστες όπως Τιάλινγκ Κούπμανς, Λέονιντ Καντορόβιτς, Βασίλι Λεοντίεφ, Πολ Σάμουελσον, Ρόμπερτ Ντόρφμαν, Ρόμπερτ Σόλοφ, και Λέονιντ Χούρβιτς.

Γραμμικός προγραμματισμός
Με βάση τα αποτελέσματα του σχετικά με τα παιχνίδια της μήτρας και με το μοντέλο του για μια αναπτυσσόμενη οικονομία, ο φον Νόιμαν εφηύρε τη θεωρία της δυαδικότητας στο γραμμικό προγραμματισμό, αφού ο Γεώργιος Β. Ντάντζιγκ περιέγραψε το έργο του μέσα σε λίγα λεπτά, όταν ένας ανυπόμονος φον Νόιμαν του ζήτησε να φτάσει στο σημείο. Στη συνέχεια, ο Ντάντζιγκ άκουγε εμβρόντητος, ενώ ο φον Νόιμαν παρείχε μια ώρα διάλεξη για τα κυρτά σύνολα, τη θεωρία σταθερού σημείου, και τη δυαδικότητα, πιθανολογώντας την ισοδυναμία μεταξύ των παιχνιδιών της μήτρας και του γραμμικού προγραμματισμού.

Αργότερα, ο φον Νόιμαν πρότεινε μια νέα μέθοδο γραμμικού προγραμματισμού, χρησιμοποιώντας το ομογενές γραμμικό σύστημα Γκόρνταν (1873), το οποίο αργότερα διαδόθηκε από τον αλγόριθμο του Κάρμαρκαρ. Η μέθοδος του φον Νόιμαν χρησιμοποίησε έναν αλγόριθμο περιστροφής μεταξύ απλοποιήσεων, με την απόφαση της περιστροφής καθορισμένη από ένα μη αρνητικό υποπρόβλημα ελαχίστων τετραγώνων με περιορισμό κυρτότητας (προβάλλοντας το μηδενικό διάνυσμα πάνω στο κυρτό του κύτους του ενεργού απλού). Ο Αλγόριθμος του φον Νόιμαν ήταν η πρώτη μέθοδος εσωτερικού σημείου του γραμμικού προγραμματισμού.

Μαθηματική στατιστική
Ο φον Νόιμαν είχε θεμελιώδεις συμβολές στη μαθηματική στατιστική. Το 1941, από τον ίδιο προέρχεται η ακριβής κατανομή του λόγου της μέσης τιμής του τετραγώνου των διαδοχικών διαφορών στη διακύμανση του δείγματος των ανεξάρτητων και πανομοιότυπα κανονικών κατανεμημένων μεταβλητών. Η αναλογία αυτή εφαρμόστηκε στα κατάλοιπα από τα μοντέλα παλινδρόμησης και είναι κοινώς γνωστή ως στατιστική Ντούρμπιν-Γουότσον για τον έλεγχο της μηδενικής υπόθεσης ότι τα λάθη είναι σειριακά ανεξάρτητα έναντι της εναλλακτικής ότι ακολουθούν μία σταθερή πρώτης τάξης αυτοπαλινδρόμηση.

Στη συνέχεια, οι Τζον Ντένις Σάργκαν και Άλοκ Μπαργκάβα επέκτειναν τα αποτελέσματα των δοκιμών, εάν τα σφάλματα σε ένα μοντέλο παλινδρόμησης ακολουθούν Γκάσιαν τυχαίο περίπατο (δηλαδή έχουν μοναδιαία ρίζα) έναντι της εναλλακτικής ότι είναι μία σταθερή πρώτης τάξης αυτοπαλινδρόμηση.

Γνωστικές ικανότητες
H ικανότητα του Νόιμαν να εκτελεί ακαριαία πολύπλοκες εργασίες στο κεφάλι άφηνε άφωνους άλλους μαθηματικούς. Ο Eugene Wigner έγραψε ότι βλέποντας την σκέψη του Νόιμαν στη δουλειά, «Είχε κανείς την εντύπωση ότι ένα τέλειο μέσο των οποίων οι ταχύτητες ήταν κατεργασμένη στο πλέγμα με ακρίβεια ενός χιλιοστού της ίντσας.» Ο Paul Halmos επισημαίνει ότι «Η ταχύτητες του Νόιμαν ήταν καταπληκτικές.» Ο Israel Halperin είπε: «Τον να τον ακολουθήσει κανείς ήταν … αδύνατο. Ήταν σαν να είσαι σε ένα τρίκυκλο σε αγώνες αυτοκινήτου.» Ο Edward Teller έγραψε ότι μπορούσε κανείς εύκολα να έρθει σε επαφή με τον Νόιμαν, και είπε «Δεν μπόρεσα ποτέ να συμβαδίσω μαζί του». Ο Teller επίσης είπε «Ο Νόιμαν μπορούσε να προβεί σε συζήτηση με τον τρίχρονο γιο του, και οι δύο θα μιλήσουν ως ίσοι, και κάποιες φορές αναρωτιέμαι αν χρησιμοποιούσε τις ίδιες μεθόδους όταν μιλούσε και σε μας τους υπόλοιπους. Οι περισσότεροι άνθρωποι δεν σκέφτονται αν μπορούν,κάποιοι είναι εθισμένοι στη σκέψη αλλά ο Νόιμαν διασκέδαζε να σκέφτεται ίσως περισσότερο από οτιδήποτε άλλο.»

Ο Lothar Wolfgang Nordheim αναφέρει τον Νόιμαν ως το «πιο γρήγορο μυαλο που συνάντησα ποτέ», και ο Jacob Bronowski έγραψε «Ήταν το πιο έξυπνο μυαλό που γνώρισα ποτέ χωρίς αμφιβολία. Ήταν μια ιδιοφυία.» Ο George Pólya, του οποίου τα θέματα στο ETH Zurich που ο Νόιμαν φοίτησε ως μαθητής, είπε «Ο Γιάννος ήταν ο μόνος μαθητής που φοβόμουν. Αν κατά τη διάρκεια ενός μαθήματος έδινα ένα άλυτο πρόβλημα,το πιο πιθανό ήταν να έρθει στο τέλος του μαθήματος με την πλήρη λύση σε μία κόλλα χαρτί». Ο Halmos αναφέρει μια ιστορία του Nicholas Metropolis,όπου φαίνεται η ταχύτητα των υπολογισμών του Νόιμαν, όταν του ζητήθηκε να λύσε το πετούν παζλ:

Δύο ποδηλάτες ξεκινούν ο ένας προς τον άλλον απέχοντας 20 μίλια, και ο καθένας πηγαίνει με 10 mph. Την ίδια στιγμή μια μύγα που ταξιδεύει σε μια σταθερή 15 mph ξεκινά από τον εμπρός τροχό του ποδηλάτου προς νότον και πετάει προς τον εμπρός τροχό από την βόρεια κατεύθυνση, τότε γυρίζει γύρω και πετάει προς τον μπροστινό τροχό της προς νότον μία φορά, και συνεχίζει με τον ίδιο τρόπο μέχρι να συνθλιβεί ανάμεσα τους δύο εμπρός τροχούς. Ερώτηση: ποια συνολική απόσταση έκανε η μύγα ανάμεσα στις δύο ρόδες; Ο αργός τρόπος είναι να βρεις πόσο διενυσε η μύγα στην αρχή, στο δεύτερο μέρος μετά στο τρίτο κτλ και στο τέλος το αθροισμα. infinite series. Ο γρήγορος τρόπος είναι να παρατηρήσουμε ότι τα ποδήλατα συναντιόνται ακριβώς μία ώρα μετά από την εκκίνηση, ώστε η μύγα είχε μόλις μια ώρα για ταξίδι έτσι η απάντηση πρέπει να είναι 15 μίλια. Όταν το θέμα τέθηκε στο Νόιμαν, το έλυσε άμεσα: «Θα πρέπει να το έχετε ακούσει το κόλπο!» «Ποιο κόλπο;» ρώτησε ο Νόιμαν, «Το μόνο που έκανα ήταν να αθροίσω τις γεωμετρικές σειρές.»
O Νόιμαν είχε μία πολύ δυνατή μνήμη γνωστή ως’φωτογραφική μνήμη’. Ο Herman Goldstine γράφει: «Μία από τις αξιοσημείωτες ικανότητες του ήταν να διαβάζει ένα βιβλίο και να μπορεί να το πει αυτολεξεί,θα μπορούσε να το κάνει για χρόνια χωρίς να μπερδευτεί.Θα μπορούσε επίσης να μεταφράσει με την ίδια ταχύτητα από την αρχική γλώσσα στα αγγλικά.Σε μία περίσταση, δοκιμάστηκε η ικανότητά του ζητώντας του να μου πει πώς η ιστορία των δύο πόλεων ξεκίνησε. Οπότε, χωρίς διακοπή, εκείνος άρχισε αμέσως το πρώτο κεφάλαιο και συνεχίζονται έως ότου ζήτησε να σταματήσει μετά από περίπου δέκα ή δεκαπέντε λεπτά.»

Είχε υπωθεί ότι η εξυπνάδα του Νόιμαν ήταν απλώς ασύγκριτη. «Πολλές φορές αναρωτήθηκα αν το μυαλό του ανήκε σε κάτι ανώτερο από άνθρωπο», είπε ο Nobel Laureate Hans A. Bethe από το Cornell University. «Είναι δίκαιο να πούμε πως ήταν ένας από τους ισχυρότερους μαθηματικούς που έζησαν ποτέ, αφού η επιρροή του ήταν πέραν της επιστήμης.», είπε ο Miklós Rédei στα «Selected Letters». Ο Glimm γράφει «Έχει θεωρηθεί ως ένας από τους γίγαντες των σύγχρονων μαθηματικών». Ο μαθηματικός Jean Dieudonné αποκάλεσε τον Νόιμαν ως «Τον τελευταίο από τους μεγαλύτερους μαθηματικούς», ενώ ο Peter Lax τον περιγράφει ως «την ποιο λαμπρή διάνυα αυτού του αιώνα».

Μάστερ στα Μαθηματικά
Ο Σταν Ούλαμ ο οποίος γνώριζε τον Τζον Φον Νόιμαν είπε για το μάστερ του στα μαθηματικά: «Οι περισσότεροι μαθηματικοί γνωρίζουν μόνο μία μέθοδο. Για παράδειγμα, ο Norbert Wiener είχε κάνει μεταπτυχιακό στους μετασχηματισμούς Fourier. Μερικοί μαθηματικοί έχουν κάνει μάστερ πάνω σε δύο μεθόδους και θα μπορούσαν να εντυπωσιάσουν κάποιον που γνωρίζει μόνο έναν από αυτούς». Εξήγησε ότι οι τρεις μέθοδοι ήταν • η ευχέρεια με την συμβολική χειραγώγηση των γραμμικών τελεστών • μια έξυπνη αίσθηση για τη λογική δομή για κάθε νέα μαθηματική θεωρία • μια έξυπνη αίσθηση για τις συνδυαστικές υπερκατασκευές των νέων θεωριών.

Η ζωή αργότερα
Το 1955,έγινε διάγνωση ότι ο Φον Νόιμαν είχε πρόβλημα στα οστά ή καρκίνο του πάγκρεας. Ένας βιογράφος του Νόιμαν, ο Νόρμαν Μακράι, θεώρησε πως ο καρκίνος οφειλόταν στην παρουσία του Νόιμαν στο σταυροδρόμι με τις πυρηνικές δοκιμές που διεξήχθησαν το 1946 στη Νησίδα Μπικίνι.

Η μητέρα του,Μάργκρετ ανακάλυψε ότι έιχε επίσης καρκίνο και πέθανε μετά από δύο εβδομάδες.Πέρασαν δεκαοκτώ μήνες από την διάγνωση μέχρι τον θάνατο του Νόιμαν. Σε αυτό το διάστημα ο Φον Νόιμαν επέστρεψε στη Ρωμαιοκαθολική πίστη που ήταν σημαντική για την μητέρα του μετά την μετατροπή της πίστης της οικογένειας το 1929-1930. Υπάρχουν αυτοίΠρότυπο:Who που υποστηρίζουν ότι πήρε εντολή από τον ιερέα στο νοσοκομείο κυρίως επειδή ο ιερέας ήταν μορφωμένο άτομο και έτσι ο Νόιμαν θα μπορούσε να μιλήσει για την κλασσική Ρώμη και την Ελλάδα περισσότεροι από ότι στους στρατιώτες. Όμως ο Νόιμαν είχε πει νωρίτερα στην μητέρα του, «Πιθανόν υπάρχει ένας Θεός. Πολλά πράγματα είναι ευκολότερο να εξηγηθούν αν υπάρχει, παρά αν δεν υπάρχει».

Ο Φον Νόιμαν κατείχε την γνώση των Λατινικών και παρέθεσε σε έναν επισκέπτη στο νοσοκομείο την δημηγορία «Judex ergo cum sedebit», και τελείωνε «Quid sum miser tun dicturus? Quem patronem rogaturus, cum vixiustus sed sicurus?» (Όταν ο δικαστής έχει πάρει την θέση Του…Τι θα παρακαλέσω εγώ ο καταρρακωμένος; Που για εμένα θα επέμβει όταν το τίμιο ελάχιστο έχει ελευθερωθή;)

Ο Φον Νόιμαν πέθανε ενάμιση χρόνο μετά την διάγνωση του καρκίνου, στο Walter Reed Army Medical Center στο Washington, D.C. υπό στρατιωτική ασφάλεια μήπως αποκαλύψει στρατιωτικά μυστικά, ενώ ήταν υπό την επήρεια φαρμάκων.Στο νεκρικό του κρεβάτι ψυχαγωγούσε τον αδερφό του με αφηγήσεις λέξη προς λέξη της πρώτης γραμμής κάθε σελίδας του Goethe’s Faust. Θάφτηκε στο Κοιμητήριο του Πρίνσετον, Mercer County,στο New Jersey.

Στο νοσοκομείο,είχε καλέσει ένας Ρωμαιοκαθολικό ιερέα,τον πατέρα Άνσελμ Στριτμάτερ, O.S.B., για διαβούλευση. Φέρεται να είπε ότι ο Pascal είχε ένα σημείο, αναφερόμενος στο στοίχημα του Pascal. Ο πατέρας Άνσελμ έδωσε θεία ευχαριστία σ’ αυτόν. Μερικοί από τους φίλους του Νόιμαν (όπως ο Ρομπερτ Οπενχάιμερ και ο όσκαρ Μόργκενστερν), γνωρίζοντάς τον πάντα σαν «ολοκληρωτικά αγνωστικιστή», πίστευαν πως το θρησκευτικό συμβούλιο δεν ήταν πραγματικό γιατί δεν αντικατόπτριζε την στάση του όταν ήταν υγιής. Ακόμα και μετά τη μετατροπή της πίστης του, ο πατέρας Άνσελμ Στριτμάτερ του υπενθύμισε ότι δεν εξέλαβε πολλή ειρήνη και άνεση από αυτό, καθώς έμεινε ακόμα τρομοκρατημένος από τον θάνατο.