Παράδοξα του Ζήνωνα

Τα Παράδοξα του Ζήνωνα είναι μια σειρά φιλοσοφικών προβλημάτων που η επινόησή τους αποδίδεται στον αρχαίο Έλληνα φιλόσοφο Ζήνωνα τον Ελεάτη (περ. 490–430 π.Χ.).

Υπάρχει διαφωνία στην εκτίμηση του τι πίστευε προσωπικά ο Ζήνωνας πως επισημαίνουν τα παράδοξά του, καθώς δεν καταγράφεται πουθενά να δίνει ο ίδιος λύσεις σε αυτά, ούτε να τα εισάγει σε κάποιο θεωρητικό πλαίσιο. Σύμφωνα με μια άποψη, τα φιλοσοφικά αυτά προβλήματα είχαν σκοπό την υποστήριξη της φιλοσοφικής θέσης του Παρμενίδη, δάσκαλου του Ζήνωνα, πως τα πάντα συμπίπτουν και η πραγματικότητα είναι αδιαίρετη, οι δε αισθήσεις μας παραπλανούν δίνοντας την ψευδαίσθηση της πολλαπλότητας. Η παραδοχή πως η πραγματικότητα μπορεί και διαιρείται σε όλο και πιο μικρά μέρη καταλήγει βάσει της λογικής στο να γίνονται αβάσταχτα στον νου τα παράδοξα καθώς αντιτίθενται άμεσα στην εμπειρία.

Τα πιο γνωστά παράδοξα του Ζήνωνα
Στον Ζήνωνα αποδίδονται 40 παράδοξοι λόγοι (συλλογισμοί). «Ο Αχιλλέας και η χελώνα», «η διχοτομία», «το στάδιο» και «το βέλος» είναι από τα πιο γνωστά. Η συλλογιστική που ακολουθεί ο Ζήνωνας είναι στο ιδεατό πεδίο της λογικής και όχι στο πεδίο της εμπειρίας και ο αναγνώστης καλείται να ακολουθήσει τον συλλογισμό της λογικής και στο τέλος να συγκρίνει το εξαγόμενο αποτέλεσμα με αυτό της εμπειρίας.

Ο Αχιλλέας και η χελώνα
Έχουμε δύο δρομείς, τον Αχιλλέα, που τρέχει γρήγορα, και τη χελώνα, που πάει πιο αργά από τον Αχιλλέα, οι οποίοι συμμετέχουν σε αγώνα δρόμου. Μιας και η χελώνα είναι πιο αργή της χαρίζεται ένα προβάδισμα από τον Αχιλλέα, το οποίο όμως φαίνεται να επιδρά καθοριστικά στο να νικά πάντα η χελώνα, όσο μικρό κι αν είναι το προβάδισμα και όσο μεγάλη και να είναι η απόσταση που θα διανύσουν στον αγώνα δρόμου.

Για να προσπεράσει ο Αχιλλέας τη χελώνα πρέπει πρώτα να φτάσει στο σημείο από το οποίο η χελώνα ξεκίνησε. Όμως αυτό δεν πρόκειται να γίνει ποτέ όσο η χελώνα συνεχίζει να προχωρά, όσο αργή κι αν είναι. Ώσπου να καλύψει ο Αχιλλέας την απόσταση αυτή, η χελώνα θα έχει προχωρήσει λίγο πιο πέρα. Έτσι ο Αχιλλέας υποχρεούται να διανύσει κι άλλο διάστημα, ως τη νέα θέση της χελώνας. Ώσπου να διατρέξει το νέο αυτό διάστημα, η χελώνα θα έχει προχωρήσει κι άλλο, στον χρόνο που ο Αχιλλέας χρειάζεται για να φτάσει στο προηγούμενο σημείο.

Το διάστημα που τους χωρίζει μπορεί να γίνεται ολοένα και πιο μικρό, όμως ποτέ ο γρήγορος Αχιλλέας δε μπορεί να φτάσει την αργή χελώνα, όσο ο χώρος μπορεί και διαιρείται σε όλο και πιο μικρά μέρη.

Η διχοτομία
Ένας δρομέας ξεκινά με σκοπό να φτάσει στο τέρμα του στίβου. Όμως για να φτάσει στο τέρμα θα πρέπει να τρέξει άπειρο αριθμό από διαδρομές που προστίθενται η μία στην άλλη. Καταρχήν πρέπει να φτάσει στο μέσο της διαδρομής ως το τέρμα. Στη συνέχεια πρέπει να φτάσει στο ενδιάμεσο σημείο μεταξύ του μέσου και του τέρματος, μετά στο μέσο του δεύτερου μέσου, κ.ο.κ.

Όσο ο χώρος μπορεί και χωρίζεται (κάθε φορά στο μισό του μισού κλπ) σε όλο και πιο μικρά μέρη, οι διαδρομές όλο και προστίθενται και τελικά γίνονται άπειρες σε αριθμό. Όμως κανείς δε μπορεί να τρέξει άπειρο αριθμό διαδρομών.

Ακόμα και αν η απόσταση από την αρχή ως το τέρμα είναι μόνο ένα μέτρο, ή ένα εκατοστό, ή ακόμα και μόνο ένα χιλιοστό του μέτρου, μια άπειρη σειρά διαδρομών δεν μπορεί να την εκτελέσει κανείς. Συνεπώς η κίνηση είναι αδύνατη.

Το στάδιο (ή οι κινούμενες σειρές)
Τρεις κύβοι με ίδιο όγκο (ίδιες δηλαδή διαστάσεις), οι Α, Β, Γ, βρίσκονται στοιχισμένοι στην ίδια ευθεία, ο ένας πίσω από τον άλλο, και ακίνητοι. Οι πλευρές τους έχουν (και για τους τρεις) το ίδιο μήκος μ. Μετακινούμε τον μπροστινό κύβο Α προς τα αριστερά με σταθερή ταχύτητα, και ταυτόχρονα τον τελευταίο κύβο Γ προς τα δεξιά, με την ίδια (και σταθερή) ταχύτητα.

Στον ίδιο χρόνο που ο Α έχει μετακινηθεί κατά μισή πλευρά (=μ/2) προς τα αριστερά ως προς τον ακίνητο Β, ο Γ έχει μετακινηθεί προς τα δεξιά κατά το ίδιο διάστημα (μισή πλευρά ή μ/2) ως προς τον ακίνητο Β. Στον ίδιο επίσης χρόνο ο Α έχει μετακινηθεί κατά μ (=μια πλευρά κύβου) ως προς τον Γ. Στον διπλάσιο χρόνο, ο Α και ο Γ έχουν ο καθένας μετακινηθεί κατά επίσης μ (=μια πλευρά κύβου) σε σχέση με τον Β. Συνεπώς «ο μισός χρόνος ισούται με τον διπλάσιό του».

Το παράδοξο του σταδίου αποτελεί κριτική για την ιδέα της ταχύτητας που είχαν οι αρχαίοι Έλληνες, οι οποίοι την θεωρούσαν απόλυτη αξία που εξαρτάται από την ορμή της μετατόπισης. Στο παράδοξο του σταδίου έχουμε δύο δρομείς που τρέχουν σε αντίθετη κατεύθυνση και καθώς συναντώνται ο καθένας τους έχει την αίσθηση πως ο άλλος τρέχει πολύ γρήγορα, κάτι που δεν ισχύει για έναν τρίτο που παρατηρεί ακίνητος και εκτός του σταδίου τους δύο δρομείς.

Η ταχύτητα γίνεται πλέον σχετικό μέγεθος, εξαρτώμενο από τον παρατηρητή και το πώς αυτός κινείται σε σχέση με το παρατηρούμενο.

Το βέλος
Το παράδοξο του βέλους καταδεικνύει την κίνηση ως αδύνατη υπό την παραδοχή πως ο χρόνος αποτελείται από σημειακές στιγμές, την παραδοχή δηλαδή πως οι χρονικές στιγμές δεν έχουν εύρος. Έτσι, σε κάθε στιγμή στον χρόνο, ένα βέλος που εμείς βλέπουμε να κινείται, «καταλαμβάνει χώρο ίσο με τις διαστάσεις του». Όμως το βέλος, για να κινείται πραγματικά, απαιτεί χώρο μεγαλύτερο από τις διαστάσεις του κι αυτό δε μπορεί να συμβαίνει εντός μιας σημειακής χρονικής στιγμής, που δεν του το επιτρέπει. Στην ουσία δηλαδή, για να μπορεί το βέλος να κινηθεί, απαιτεί χρόνο πιο πολύ από μια στιγμή. Άρα κάθε στιγμή του χρόνου το βέλος βρίσκεται σε ηρεμία και όχι σε κίνηση. Επειδή λοιπόν οι χρονικές στιγμές είναι σημειακές (δεν έχουν διάρκεια), η κίνηση είναι αδύνατη.

Λογικά άτοπα
Ο Ζήνων, για να δείξει ότι σε περισσότερα λογικά άτοπα οδηγούσε η αντίθετη υπόθεση, ότι δηλαδή υπάρχουν πολλά και κινούμενα όντα, ανέπτυξε μια πρωτότυπη για την εποχή του συλλογιστική, επιχειρηματολογώντας για το αδύνατο της πολλαπλότητας και της κινητικότητας του όντος. Με αυτή τη συλλογιστική του ο Ζήνων διατύπωσε τα διαβόητα στην ιστορία της φιλοσοφίας και των μαθηματικών παράδοξά του, όπως ο ισχυρισμός ότι ο «Ωκύπους Αχιλλεύς (γρήγορος στα πόδια)» δεν μπορεί να φτάσει στο τρέξιμο τη χελώνα, γιατί, για να τη φτάσει, θα πρέπει η χελώνα να βρίσκεται πάντα μπροστά το, ή ότι το βέλος που έχει εκτοξευτεί, δεν κινείται, γιατί δεν μπορεί να βρίσκεται την ίδια στιγμή στο προηγούμενο και στο επόμενο σημείο του χώρου.[