Τελευταίο θεώρημα του Φερμά

Στη θεωρία αριθμών, το τελευταίο θεώρημα του Φερμά (ορισμένες φορές ονομάζεται Υπόθεση του Φερμά, κυρίως σε παλαιότερα κείμενα) διατυπώνεται ως εξής: τρεις θετικοί ακέραιοι αριθμοί a, b, και c δεν μπορούν να ικανοποιήσουν την εξίσωση a^n + b^n = c^n για κάθε ακέραιο αριθμό n μεγαλύτερο από το δύο. Επομένως, χωρίς τη χρήση μαθηματικών συμβόλων μπορεί να εκφραστεί: Είναι αδύνατον να χωρίσεις οποιαδήποτε δύναμη μεγαλύτερη της δεύτερης σε δύο ίδιες δυνάμεις Το θεώρημα αυτό διατυπώθηκε πρώτη φορά το 1637 από τον Φερμά, με τη μορφή χειρόγραφης σημείωσης σε ένα βιβλίο (συγκεκριμένα στα Αριθμητικά του Διόφαντου), όπου ο ίδιος ισχυρίστηκε ότι έχει την απόδειξη του θεωρήματος αλλά είναι τόσο μεγάλη που δεν χωρούσε στη σημείωση. Καμία επιτυχής απόδειξη δεν δημοσιεύθηκε μέχρι το 1995, παρά τις προσπάθειες των αμέτρητων μαθηματικών κατά τα 358 χρόνια που μεσολάβησαν. Το άλυτο αυτό πρόβλημα συνδέεται άμεσα με την πρόοδο της αλγεβρικής θεωρίας αριθμών το 19ο αιώνα. Είναι ένα από τα πιο γνωστά θεωρήματα στην ιστορία των μαθηματικών και πριν την απόδειξη του 1995 από τους μαθηματικούς Άντριου Γουάιλς και Ρίτσαρντ Τέιλορ βρισκόταν στο Βιβλίο Γκίνες ως το «πιο δύσκολο μαθηματικό πρόβλημα».

Το πρόβλημα
Το τελευταίο θεώρημα του Φερμά (γνωστό με τον τίτλο αυτό ιστορικά, αν και τεχνικά επρόκειτο για μια εικασία ή για αναπόδεικτες εικασίες, μέχρι να αποδειχθεί το 1995) αποτελούσε ένα άλυτο αίνιγμα στα μαθηματικά για πάνω από τρεις αιώνες. Το θεώρημα μόνο του είναι μια απατηλά απλή διατύπωση μέσα στα μαθηματικά, ενώ ο Φερμά είχε δηλώσει ότι το πρόβλημα είχε λυθεί περίπου το 1637. Η αξίωσή του ανακαλύφθηκε περίπου 30 χρόνια αργότερα, μετά το θάνατό του, ως μία ξεκάθαρη δήλωση στο περιθώριο ενός βιβλίου, αλλά ο Φερμά πέθανε χωρίς να αφήσει καμία απόδειξη όσον αφορά την αξίωση του.

Η αξίωση αυτή έγινε τελικά ένα από τα πιο διάσημα άλυτα προβλήματα των μαθηματικών. Οι προσπάθειες που έγιναν για να αποδειχθεί κατά τη διάρκεια του χρόνου που ακολούθησε, μέχρι τη δημοσίευση της επιτυχημένης απόδειξης, προκάλεσε ουσιαστική ανάπτυξη στην θεωρία αριθμών και με την πάροδο του χρόνου το Τελευταίο θεώρημα του Φερμά αποκτήσει θρυλική εξέχουσα θέση ως ένα από τα πιο δημοφιλή άλυτα προβλήματα στα μαθηματικά. Βασίζεται στο γνωστό τύπο του («Πυθαγόρειου Θεωρήματος») για την υποτείνουσα και τις δύο άλλες πλευρές ενός ορθογωνίου τριγώνου που ανακαλύφθηκε από τον αρχαίο Έλληνα μαθηματικό Πυθαγόρα : a^2 + b^2 = c^2

Σύμφωνα με τα δεδομένα αυτά, η εξίσωση έχει ένα άπειρο πλήθος ακεραίων λύσεων, που αντιστοιχούν στις πλευρές ενός ορθογωνίου τριγώνου. Ο Φερμά ισχυρίστηκε ότι είχε μια απόδειξη ότι αυτό το θεώρημα δεν έχει λύσεις κάποιον φυσικό αριθμό (ή «ακέραιο») για κάθε ακέραιο εκθέτη μεγαλύτερο από το 2. Με άλλα λόγια αν η εξίσωση a^2 + b^2 = c^2 έχει άπειρο πλήθος λύσεων, οι παρόμοιες εξισώσεις

a^3 + b^3 = c^3
a^4 + b^4 = c^4
a^n + b^n = c^n
για οποιονδήποτε άλλο εκθέτη n μεγαλύτερο του 2 δεν έχει λύσεις. Ο Φερμά δεν άφησε καμία απόδειξη της εικασίας του για όλα τα n>2, εκτός από την ειδική περίπτωση για n=4.

Χρησιμοποιώντας πιο επίσημη μαθηματική σημειογραφία, το τελευταίο θεώρημα του Φερμά μπορεί να διατυπωθεί ως εξής:

Αν ένας ακέραιος n είναι μεγαλύτερος του 2, τότε η εξίσωση
x^n + y^n = z^n, όπου x, y, και z θετικοί ακέραιοι δεν έχει λύση.
Επειδή το συγκεκριμένο πρόβλημα γίνεται πολύ εύκολα κατανοητό από τον καθένα (ως προς τη διατύπωσή του), έχουν δημιουργηθεί κατά καιρούς οι περισσότερες λανθασμένες αποδείξεις από οποιοδήποτε άλλο πρόβλημα στην ιστορία των μαθηματικών. Όλα τα θεωρήματα που είχαν προταθεί από τον Φερμά αποδείχτηκαν, είτε με δικές του αποδείξεις, είτε με αποδείξεις άλλων μαθηματικών, στους επόμενους δύο αιώνες που ακολούθησαν τις προτάσεις. Το τελευταίο θεώρημα του Φερμά δεν ήταν το τελευταίο που διατύπωσε, αλλά το τελευταίο που αποδείχτηκε. Υπάρχουν πολλές εξισώσεις που έχουν μορφή παρόμοια με αυτή του τελευταίου θεωρήματος του Φερμά. Ένα παράδειγμα είναι το εξής:

Υπάρχουν άπειροι θετικοί ακέραιοι αριθμοί x, y, και z, τέτοιοι ώστε x^n + y^n = z^m, όπου n και m πρώτοι μεταξύ τους φυσικοί αριθμοί.

Μεταγενέστερες εξελίξεις και η απόδειξη του θεωρήματος
Με την ειδική περίπτωση n = 4 αποδεδειγμένη, το πρόβλημα ήταν να αποδειχθεί το θεώρημα για εκθέτες n, οι οποίοι είναι πρώτοι αριθμοί (ο περιορισμός αυτός θεωρείται τετριμμένος για να αποδεχθεί αφού: αν n δεν είναι πρώτος αριθμός τότε θα ήταν δυνατό να γραφεί με τη μορφή n = PQ, όπου P είναι ένας πρώτος αριθμός, και στη συνέχεια ισχύει an = aP.Q = (aQ)P για καθέναν από τους a,b και c και μια ισοδύναμη λύση, θα μπορούσε να υπάρχει για μία μικρότερη πρώτη δύναμη. Κατά τη διάρκεια των δύο επόμενων αιώνων (1637-1839), η εικασία έχει αποδειχθεί μόνο για τους πρώτους 3, 5, και 7, αν και η Σοφί Ζερμαίν καινοτόμησε και κατόρθωσε να προσεγγίσει μια απόδειξη που θα αφορούσε μια ολόκληρη κατηγορία των πρώτων αριθμών. Στα μέσα του 19ου αιώνα, ο Ερνστ Κούμερ επέκτεινε την απόδειξη της Ζερμαίν και, επίσης, απέδειξε το θεώρημα για όλες κανονικούς πρώτους αριθμούς, αφήνοντας τους ακανόνιστους να αναλυθούν μεμονωμένα. Με βάση τις εργασίες του Κούμερ και τη χρήση εξελιγμένων μελετών με τη βοήθεια υπολογιστών, άλλοι μαθηματικοί ήταν σε θέση να επεκτείνουν την απόδειξη για να καλύψουν όλους τους πρώτους εκθέτες μέχρι τέσσερα εκατομμύρια, αλλά μια απόδειξη για όλους τους εκθέτες ήταν απρόσιτη εκείνη την περίοδο για τη μαθηματική κοινότητα (πράγμα που σημαίνει ότι οι μαθηματικοί γενικά θεωρούν μια απόδειξη μπορεί να είναι είτε αδύνατη, ή στην καλύτερη περίπτωση εξαιρετικά δύσκολη, ή δεν είναι εφικτή με τις σημερινές γνώσεις).

Η απόδειξη του Τελευταίου Θεωρήματος του Φερμά στο σύνολό της, για όλα τα n, τελικά επιτεύχθηκε, μετά από 358 χρόνια, από τον Άντριου Γουάιλς, το 1995, ένα επίτευγμα για το οποίο τιμήθηκε και έλαβε πολλά βραβεία. Η λύση ήρθε με έμμεσο τρόπο, από έναν εντελώς διαφορετικό τομέα των μαθηματικών.

Περίπου το 1955 οι Ιάπωνες μαθηματικοί Γκόρο Σιμούρα και Γιουτάκα Τανιγιάμα διατύπωσαν την εικασία ύπαρξης σχέσης μεταξύ των ελλειπτικών καμπυλών και των modular forms, δύο εντελώς διαφορετικών περιοχών των μαθηματικών. Η αξίωση αυτή που έμεινε γνωστή ως Τανιγιάμα-Σιμούρα-Γουάιλς εικασία, και τελικά ως θεώρημα των modular forms, το οποίο εντάσσεται στον τομέα της μιγαδικής ανάλυσης, θεωρούνταν ανεξάρτητη, χωρίς προφανή σύνδεση με το Τελευταίο θεώρημα του Φερμά. Είχε ευρέως θεωρηθεί ως σπουδαίο μαθηματικό πρόβλημα, αλλά ήταν (όπως και εξίσωση του Φερμά) εντελώς απρόσιτο στην απόδειξη του.

Το 1984, ο Ζέραντ Φρέι παρατήρησε μια προφανή σχέση μεταξύ του θεωρήματος των modular forms και του Τελευταίου θεώρηματος του Φερμά. Αυτή η πιθανή σχέση επιβεβαιώθηκε δύο χρόνια αργότερα από τον Κεν Ρίμπετ. Ο Άγγλος μαθηματικός Άντριου Γουάιλς, ο οποίος είχε γοητευθεί από τα 10 του χρόνια με το Τελευταίο Θεώρημα του Φερμά, αποφάσισε ακούγοντας αυτό, να προσπαθήσει και να αποδείξει το θεώρημα των modular forms, πιστεύοντας ότι επρόκειτο για έναν τρόπο ώστε να αποδείξει το Τελευταίο θεώρημα του Φερμά. Το 1993, μετά από έξι χρόνια, όπου εργάζεται κρυφά πάνω στο πρόβλημα, ο Γουάιλς κατόρθωσε να αποδείξει αρκετά για το θεώρημα των modular forms ώστε να φθάσει στη λύση του Τελευταίου θεωρήματος του Φερμά. Η απόδειξη του Γουάιλς ήταν τεράστια σε μέγεθος και σε πεδίο εφαρμογής. Ένα ελάττωμα ανακαλύφθηκε σε ένα τμήμα του αρχικού εγγράφου του κατά τη διάρκεια της αξιολόγησης από ομότιμους και απαιτείται ένα επιπλέον έτος και η συνεργασία του με έναν παλαιότερο φοιτητή, τον Ρίτσαρντ Τέιλορ για την διόρθωσή του. Ως αποτέλεσμα η τελική απόδειξη το 1995 συνοδεύτηκε από ένα δεύτερο, μικρότερο έγγραφο για την επίλυση του προβλήματος αυτού. Το επίτευγμα του Γουάιλς είχε αναφερθεί ευρέως στον Τύπο, και διαδόθηκε σε βιβλία και τηλεοπτικά προγράμματα. Τα υπόλοιπα μέρη του θεωρήματος των modular forms στη συνέχεια αποδείχθηκαν από άλλους μαθηματικούς, με βάση τις εργασίες του Γουάιλς, μεταξύ 1996 και 2001.

Γενική απόδειξη του Γουάιλς
Ο Γουάιλς εργάστηκε σε αυτό το έργο για έξι χρόνια με σχεδόν απόλυτη μυστικότητα, κάλυπτε μέχρι και τις προσπάθειές του με την εμφάνιση προηγούμενων εργασιών σε μικρά τμήματα ως ξεχωριστές εργασίες και εμπιστευτικά μόνο στη σύζυγό του. Η αρχική του μελέτη πρότεινε μια απόδειξη με επαγωγή και βασίστηκε στην αρχική εργασία του και την πρώτη σημαντική ανακάλυψη σχετικά με τη θεωρία του Γκαλουά πριν από τη προσπάθεια να επεκτείνει την «Οριζόντια θεωρία» του Ιγασάγα για την επαγωγή το 1990-1991, όταν φάνηκε ότι δεν υπήρχε επαρκής υπάρχουσα προσέγγιση στο πρόβλημα. Ωστόσο, το καλοκαίρι του 1991, η θεωρία του Ιγασάνα, επίσης, φάνηκε να μην επαρκεί για την επίλυση των κεντρικών ζητημάτων του προβλήματος. Κατόπιν, πλησίασε τους συναδέλφους του για να αναζητήσει τυχόν υποδείξεις από έρευνα αιχμής και τις νέες τεχνικές, και ανακάλυψε το σύστημα του Όιλερ που πρόσφατα είχε αναπτύχθηκε από τον Βίκτορ Καλιβάγκην και τον Ματίας Φλατς, η οποία φαινόταν ιδανική για το επαγωγικό μέρος της απόδειξης του. Ο Γουάιλς μελέτησε και επέκτεινε αυτή την προσέγγιση, στην οποία και εργάστηκε. Δεδομένου ότι το έργο του στηρίχθηκε στη συγκεκριμένη μεθόδους προσέγγισης σε μεγάλο βαθμό, αλλά οι προσεγγίσεις ήταν καινούργιες για τον Γουάιλς ο ίδιος, τον Ιανουάριο του 1993 ζήτησε από συνάδελφό του στο Πρίνστον, Νικ Κατζ, να ελέγξει τον συλλογισμό του για λάθη. Το συμπέρασμά τους την εποχή εκείνη ήταν ότι οι τεχνικές που χρησιμοποιούνται από Γουάιλς φάνηκε να λειτουργεί σωστά.

Μέχρι τα μέσα του Μάη του 1993 ο Γουάιλς αισθάνθηκε έτοιμος να πει στη γυναίκα του ότι νόμιζε πως είχε την απόδειξη του τελευταίου θεωρήματος του Φερμά και τον Ιούνιο ένιωθε αρκετά σίγουρος για να παρουσιάσει τα αποτελέσματα του σε τρεις διαλέξεις που πραγματοποιήθηκαν στις 21 – 23 Ιουν. 1993 στο Ινστιτούτο Μαθηματικών Επιστημών Ισαάκ Νεύτων. Συγκεκριμένα, ο Γουάιλς παρουσίασε την απόδειξη της εικασίας Τανιγιάμη-Σιμούρα για ημισταθερές ελλειπτικές καμπύλες καθώς και την απόδειξη της εψιλοντικής εικασίας του Ρίμπετ, αυτό συνεπαγόταν την απόδειξη του τελευταίου θεωρήματος του Φερμά. Ωστόσο, κατέστη σαφές κατά τη διάρκεια της αξιολόγησης ότι ένα κρίσιμο σημείο στην απόδειξη ήταν εσφαλμένη. Περιείχε ένα λάθος σε ένα όριο της τάξης του συγκεκριμένου. Το σφάλμα απασχόλησε πολλούς μαθηματικούς και τη διαιτησία των χειρόγραφων ανέλαβε μια ομάδα μαθηματικών, συμπεριλαμβανομένου του Κατζ (στο ρόλο του ως κριτής), ο οποίος ειδοποίησε τον Γουάιλς στις 23 Αυγούστου 1993.

Μεταγενέστερες εξελίξεις[
Η πλήρης Τανιγιάμα-Σιμούρα-Βέιλ εικασία τελικά αποδεικνύεται από τους Ντάιαμοντ (1996), Κόνραντ & Ντάιαμοντ & Τέιλορ (1999), και Μπρουέλ & Κονραντ & Ντάιμοντ & Τέιλορ (2001), οι οποίοι με βάση τις εργασίες του Γουάιλς, διαχώρισαν σταδιακά και επεκτάθηκαν στις υπόλοιπες περιπτώσεις μέχρι να αποδειχθεί πλήρως. Η πλήρως αποδεδειγμένη εικασία έγινε γνωστή ως θεώρημα των modular forms. Πολλά άλλα θεωρήματα στη θεωρία αριθμών, που είναι παρόμοια με το Τελευταίο θεώρημα του Φερμά, προκύπτουν επίσης με την ίδια λογική, χρησιμοποιώντας το θεώρημα των modular forms. Για παράδειγμα, κανένας κύβος δεν μπορεί να γραφεί ως άθροισμα δύο διαφορετικών n-οστών δυνάμεων, όπου n ≥ 3. (Η περίπτωση n = 3 ήταν ήδη γνωστή από τον Όιλερ)

Μήπως ο Φερμά είχε μια γενική απόδειξη;
Οι μαθηματικές τεχνικές που χρησιμοποιούσε ο Φερμά για τη «θαυμάσια» απόδειξη είναι άγνωστες. Μόνο μία λεπτομερή απόδειξη Fermat έχει διασωθεί, από την παράπανω απόδειξη ότι δεν υπάρχουν τρεις πρώτοι μεταξύ τους ακέραιοι (x, y, z) που να ικανοποιούν την εξίσωση x^4 − y^4 = z^2.

Η απόδειξη Τέιλορ και Γουάιλς στηρίζεται σε μαθηματικές τεχνικές που αναπτύχθηκαν τον 20ο αιώνα, που θα ήταν άγνωστες για τους μαθηματικούς που είχαν εργαστεί στο το τελευταίο θεώρημα του Φερμά, ακόμη και έναν αιώνα νωρίτερα. Η υποτιθέμενη «θαυμάσια απόδειξη του «Φερμά», θα έπρεπε να είναι στοιχειώδης, λόγω της μαθηματικής γνώσης του χρόνου, και έτσι δεν θα μπορούσε να ήταν το ίδιο με την απόδειξη του Γουάιλς. Οι περισσότεροι μαθηματικοί και ιστορικοί αμφιβάλλουν ότι Fermat είχε μια έγκυρη απόδειξη του θεωρήματος του για όλους τους εκθέτες n.

Στο δημοφιλή πολιτισμό

• Ένα επεισόδιο της τηλεοπτικής σειράς Star Trek: The Next Generation, με τον τίτλο «Το βασιλικό», αναφέρεται στο θεώρημα στην πρώτη σκηνή.
• «Η απόδειξη» – Nova (PBS) ντοκιμαντέρ σχετικά με την απόδειξη του Άντριου Γουάιλς για το Τελευταίο Θεώρημα του Φερμά.
• Στις 17 Αυγ 2011, ένα Google doodle είχε εμφανιστεί στην αρχική σελίδα του Google, που δείχνει ένα πίνακα με το θεώρημα αυτό. Όταν αιωρούνταν πάνω, εμφανίζει το κείμενο «Έχω ανακαλύψει μια πραγματικά θαυμάσια απόδειξη αυτού του θεωρήματος, την οποία αυτό το doodle είναι πολύ μικρό για να περιέχει». Αυτό είναι μια αναφορά στο σημείωμα του Φερμά στο περιθώριο της Αριθμητικής. Έτσι εορτάστηκε η 410η επέτειος γέννησης του Φερμά, διαδικτυακά.
• Στο βιβλίο Το κορίτσι που έπαιζε με τη φωτιά, ο κύριος χαρακτήρας η Λίσμπεθ Σάλαντερ παθαίνει εμμονή με το θεώρημα στα αρχικά κεφάλαια του βιβλίου. Συνεχίζοντας την προσπάθειά της να καταλήξει σε μια απόδειξη λειτουργεί ως υποπλοκή σε όλη την ιστορία, και χρησιμοποιείται ως ένας τρόπος για να αποδείξει την εξαιρετική ευφυΐα της. Στο τέλος εμφανίζεται με μια απόδειξη (η πραγματική απόδειξη δεν εμφανίζεται στο βιβλίο). Ωστόσο πυροβολείται στο κεφάλι. και η απόδειξη χάνεται.