Τζορτζ Μπουλ

boole

Τζορτζ Μπουλ (αγγλικά: George Boole, 2 Νοεμβρίου 1815 – 8 Δεκεμβρίου 1864) ήταν Άγγλος μαθηματικός, φιλόσοφος και μελετητής της λογικής. Εργάστηκε στους τομείς των διαφορικών εξισώσεων και της αλγεβρικής λογικής και είναι ευρύτερα γνωστός ως ο συγγραφέας του Οι νόμοι της Λογικής. Αποτελεί το θεμελιωτή της συστηματικής μελέτης της λογικής και της γενικότερης εφαρμογής που μπορεί να έχει στην επιστήμη των μαθηματικών. Ο Μπουλ έλεγε ότι, πως καμία γενική μέθοδος για την επίλυση ερωτημάτων στην θεωρία των πιθανοτήτων δεν μπορεί να εδραιωθεί εάν δεν αναγνωρίζει ξεκάθαρα τους παγκόσμιους νόμους της σκέψης που είναι η βάση κάθε λογικής.

Πρώιμα χρόνια
Ο Μπουλ γεννήθηκε στο Λινκονσάιρ της Αγγλίας. Ο πατέρας του Τζον Μπουλ (1779-1848), ήταν έμπορος στο Λίνκολν και τον δίδαξε ο ίδιος. Έλαβε την βασική εκπαίδευση αλλά ελάχιστη επίσημη και ακαδημαϊκή. Ο Ουϊλιαμ Μπρουκ, ένας βιβλιοπώλης του Λίνκολν ίσως τον βοήθησε με τα λατινικά, τα οποία πιθανόν και να έμαθε στη σχολή του Τόμας Μπέϊνμπριντζ. Ήταν αυτοδίδακτος στις μοντέρνες γλώσσες. Στην ηλικία των 16 ο Μπουλ συντηρούσε τους γονείς του και τα τρία μικρότερα αδέλφια του, αναλαμβάνοντας χρέη δασκάλου στο Ντόνκαστερ, στην σχολή του Χέϊγκαμ. Δίδαξε επίσης στο Λίβερπουλ.

Ο Μπουλ συμμετείχε στο τοπικό ινστιτούτο μηχανικών, το Ινστιτούτο Μηχανικών του Λίνκολν, το οποίο ιδρύθηκε το 1833. Ο Έντουαρντ Μπρόμχεντ ο οποίος γνώριζε τον Μπούλ απο το Ινστιτούτο, βοήθησε τον Τζορτζ Μπουλ με τα μαθηματικά βιβλία και του δόθηκε το τεύχος του λογισμού του Σιλβέστερ Φρανσουά Λακρουά απο τον αιδεσιμότατο Τζόρτζ Στήβενς Ντίκσον. Δίχως καθηγητή του πήρε αρκετά χρόνια για να κατακτήσει τον Λογισμό.

Στην ηλικία των 19 ετών, ο Μπουλ ίδρυσε επιτυχώς την δική του σχολή στο Λίνκολν. Τέσσερα χρόνια μετά ανέλαβε την ακαδημία του Χάλ, στο Ουάντινγκτον, εξω απο το Λίνκολν, όταν αυτός απεβίωσε. Το 1840 επέστρεψε στο Λίνκολν όπου διήυθυνε ενα οικοτροφείο.

Ο Μπουλ εξελίχθηκε σε μια επιφανή τοπική προσωπικότητα και υπήρξε θαυμαστής του Τζόν Κάϊε του επισκόπου. Έλαβε μέρος στην τοπική καμπάνια υπέρ του «πρόωρου κλεισίματος». Μαζί με τον Έντμουντ Ρόμπερτς Λάρκεν και άλλους ίδρυσε μια οικοδομική κοινότητα το 1847. Επίσης συναναστρεφόταν με τον χαρτιστή Τόμας Κούπερ του οποίου η γυναίκα υπήρξε σχέση του.

Απο το 1838 και έπειτα ο Μπουλ έκανε επαφές με ομοϊδεάτες Βρετανούς ακαδημαϊκούς μαθηματικούς και άρχισε να διαβάζει ευρύτερα. Μελέτησε την άλγεβρα στην μορφή των συμβολικών μεθόδων,όπως αυτές ήταν κατανοητές εκείνη την εποχή και ξεκίνησε να δημοσιεύει ερευνητικές εργασίες.

Καθηγητής στο Κόρκ
Η ιδιότητα του Μπουλ ως μαθηματικού αναγνωρίστηκε όταν το 1849 του ανατέθηκε η θέση του πρώτου καθηγητή μαθηματικών στο κολλέγιο Κουϊνς στην Ιρλανδία. Εκεί γνώρισε και την μέλλουσα σύζυγο του, Μαίρη Έβερεστ το 1850 όταν η τελευταία επισκέπτονταν τον θείο της Τζόν Ρίαλ ο οποίος ήταν καθηγητής Ελληνικών. Μερικά χρόνια αργότερα παντρεύτηκαν. Διατήρησε τους δεσμούς του με το Λίνκολν, εργαζόμενος εκεί μαζί με τον Λάρκεν σε μια καμπάνια υπέρ της μείωσης της πορνείας.

Τιμές και βραβεία
Ο Μπουλ βραβεύθηκε με το μετάλλιο Κιθ απο την βασιλική κοινότητα του Εδιμβούργου το 1855 και εκλέχθηκε ως συνεργάτης της βασιλικής κοινότητας το 1857. Έλαβε επίσης τιμητικούς τίτλους ως Διδάκτωρ Νομικής απο το πανεπιστήμιο του Δουβλίνου και της Οξφόρδης.

Θάνατος
Μια μέρα το 1864, ο Μπουλ περπάτησε δυο μίλια μέσα στην βροχή και έπειτα έδωσε διάλεξη φορώντας ακόμα τα βρεγμένα του ρούχα. Σύντομα αρρώστησε παρουσιάζοντας συμπτώματα σφοδρού κρυολογήματος και υψηλού πυρετού. Η γυναίκα του πιστεύοντας οτι οι θεραπείες θα έπρεπε να ταιριάζουν με τα αίτια της αρρώστιας, τον έβαλε στο κρεβάτι και του έριχνε κουβάδες με νερό, το ίδιο νερό που προκάλεσε την αρρώστια του. Η κατάσταση του Μπουλ επιδεινώθηκε και στις 8 Δεκεμβρίου του 1864 απεβίωσε απο πυρετό που προκλήθηκε απο πλευριτική συλλογή.

Ενταφιάστηκε στο νεκροταφείο της Ιρλανδικής Εκκλησίας του Αγίου Μιχαήλ στο Μπλάκροκ (ενα προάστιο της πόλης Κόρκ). Υπάρχει μνημείο-επιγραφή στο εσωτερικό της παρακείμενης εκκλησίας.

Έργα
Η πρώτη δημοσιευμένη εργασία του Μπουλ αφορούσε τις Έρευνες στη θεωρία των αναλυτικών μετασχηματισμών,με ειδίκευση στη μείωση της γενικής εξίσωσης δεύτερης τάξης,τυπωμένη στη Μαθηματική Εφημερίδα του Κέιμπριτζ το Φεβρουάριο του 1840(Τόμος 2,Νούμερο 8,Σελίδες 64-73), και οδήγησε σε μια φιλία μεταξύ Μπουλ και Ντάνκαν Φάρκασον Γκρέγκορι, εκδότη της εφημερίδας.Τα έργα του είναι περίπου 50 άρθρα μαζί με μερικές ξεχωριστές εκδόσεις.

Στις αρχες του 1841 ο Μπουλ δημοσίευσε ένα ισχυρό άρθρο στη θεωρία των αμετάβλητων.Έλαβε ένα μετάλλιο από τη Βασιλική Κοινωνία για τα απομνημονεύματά του το 1844,σχετικά με τη Γενική Μέθοδο Ανάλυσης.Ήταν μια συμβολή στη θεωρία των γραμμικών διαφορικών εξισώσεων, αποστασιοποιήθηκε από την περίπτωση των σταθερών συντελεστών εκ των οποίων είχε ήδη δημοσιεύσει, τους μεταβλητούς συντελεστές. Η καινοτομία στο πλαίσιο των επιχειρησιακών μεθόδων είναι να αναγνωρίζουμε ότι οι επιχειρήσεις δεν μπορούν να αντιμεταθετηθούν. Το 1847 ο Μπουλ δημοσίευσε τη Μαθηματική Ανάλυση της Λογικής, το πρώτο από τα έργα του σε συμβολική λογική.

Διαφορικές εξισώσεις
Δύο συστηματικές πραγματείες για μαθηματικά θέματα ολοκληρώθηκαν από τον Μπουλ κατά τη διάρκεια της ζωής του. Η Πραγματεία περί Διαφορικών Εξισώσεων εμφανίστηκε το 1859, και ακολούθησε, τον επόμενο χρόνο, μια πραγματεία για τον Λογισμό των Πεπερασμένων Διαφορών, η συνέχεια της προηγούμενης εργασίας. Στο δέκατο έκτο και δέκατο έβδομο κεφάλαιο των Διαφορικών Εξισώσεων υπάρχει ένας απολογισμός της γενικής συμβολικής μεθόδου, και μιας γενικής μεθόδου για την ανάλυση, αυθεντικώς περιγράφονται στα απομνημονεύματά του στις Φιλοσοφικές Συναλλαγές το 1844.

Κατά τη διάρκεια των τελευταίων χρόνων της ζωής του,ο Μπουλ εργάστηκε σε μια δεύτερη έκδοση των Διαφορικών Εξισώσεων του, και ένα μέρος των τελευταίων διακοπών του το πέρασε στις βιβλιοθήκες της Βασιλικής Κοινωνίας και το Βρετανικό Μουσείο, αλλά έμεινε ατελής. Ο Ισαάκ Τόντχαντερ εκτύπωσε τα χειρόγραφα το 1865,σ’ένα συμπληρωματικό όγκο.

Ανάλυση
Το 1857, ο Μπουλ δημοσίευσε την πραγματεία σχετικά με τη Σύγκριση των Υπερβατικών, με ορισμένες εφαρμογές στη Θεωρία των Ολοκληρωμάτων, στην οποία μελέτησε το άθροισμα των υπολειμμάτων μιας ρητής συνάρτησης. Μεταξύ άλλων αποτελεσμάτων, απέδειξε αυτό που καλείται τώρα Ταυτότητα Μπουλ:

8cb6470bafb0ee326e2c1662b75dbd88
για κάθε πραγματικούς αριθμούς . Γενικεύσεις αυτής της ταυτότητας διαδραματίζουν σημαντικό ρόλο στη θεωρία του μετασχηματισμού Χίλμπερτ.

Συμβολική Λογική
Το 1847 ο Μπουλ δημοσίευσε το φυλλάδιο Μαθηματική Ανάλυση της Λογικής. Αργότερα θα θεωρηθεί ως μια λανθασμένη έκθεση της λογικής του συστήματός του, και ήθελε η Διερεύνηση των Νόμων της Σκέψης (1854), επί των οποίων βασίζονται οι μαθηματικές Θεωρίες της Λογικής και Πιθανότητες να θεωρηθεί ως σωστή τοποθέτηση των απόψεών του. Σε αντίθεση με τη διαδεδομένη(τότε) άποψη ο Μπουλ δεν είχε ποτέ την πρόθεση να ασκήσει κριτική ή να διαφωνήσει με τις βασικές αρχές της λογικής του Αριστοτέλη. Μάλλον είχε την πρόθεση να τις συστηματοποιήσει, να τις παράσχει ένα θεμέλιο, και να επεκτείνει το φάσμα των εφαρμογών τους. Η αρχική συμμετοχή του Μπουλ στη λογική υποκινήθηκε από μια τρέχουσα συζήτηση για την ποσοτικοποίηση, μεταξύ του Σιρ Ουϊλιαμ Χάμιλτον ο οποίος υποστήριξε τη θεωρία της «ποσοτικοποίησης του κατηγορήματος», και του υποστηρικτή του Μπουλ Αυγούστου Ντε Μόργκαν ο οποίος προώθησε μια έκδοση του Ντε Μόργκαν δυαδικότητα, όπως λέγεται τώρα. Η προσέγγιση του Μπουλ ήταν τελικά πολύ πιο εκτεταμένη από τις δύο πλευρές στη διαμάχη. Ίδρυσε αυτήν που ήταν πρώτα γνωστή ως «άλγεβρα της λογικής» παράδοση.

Ο Μπουλ δεν θεωρούσε τη λογική ως κλάδο των μαθηματικών, αλλά ο Μπουλ παρείχε μια γενική συμβολική μέθοδο λογικού συμπεράσματος. Ο Μπουλ πρότεινε ότι οι λογικές προτάσεις θα πρέπει να εκφράζονται μέσω των αλγεβρικών εξισώσεων. Ο καλός χειρισμός των συμβόλων στις αλγεβρικές εξισώσεις θα παρέχει μία ασφαλή μέθοδο του επαγωγικού συλλογισμου: δηλαδή η λογική ανάγεται σ’ένα είδος άλγεβρας.

Ανάμεσα στις πολλές καινοτομίες του είναι η αρχή της χολιστικής αναφοράς, που αργότερα, και κατά πάσα πιθανότητα ανεξάρτητα, υιοθετήθηκε από τον Γκότλομπ Φρέγκε και από υποστηρικτές της λογικής που συνείσφεραν στο πρότυπο πρώτης τάξης λογικής. Ένα άρθρο του 2003 παρέχει μια συστηματική σύγκριση και κριτική αξιολόγηση της λογικής του Αριστοτέλη και της Άλγεβρας Μπουλ, αποκαλύπτει επισης την κεντρικότητα της χολιστικής αναφοράς στη φιλοσοφίας της λογικής του Μπουλ.

Ορισμός του σύμπαντος του λόγου (1854) του Μπουλ[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα] Σε κάθε λόγο, αν το μυαλό συνομιλεί με τις σκέψεις του, ή του ατόμου στην επαφή του με άλλους, υπάρχει μια υποτιθέμενη ή εκφρασμένη προθεσμία εντός της οποίας τα θέματα της λειτουργίας του περιορίζονται. Η πιο απρόσκοπτη ομιλία είναι εκείνη στην οποία οι λέξεις που χρησιμοποιούμε με την ευρύτερη δυνατή εφαρμογή, και γι’ αυτούς τα όρια της ομιλίας είναι συν-εκτεταμένα με εκείνα του ίδιου του σύμπαντος. Αλλά συνήθως μπορούμε να περιοριστούμε σ’ ένα λιγότερο ευρύχωρο πεδίο. Μερικές φορές, σε συνομιλία του των ανδρών εννοούμε (χωρίς να εκφράζει τον περιορισμό) ότι είναι άνδρες μόνο υπό ορισμένες συνθήκες και προϋποθέσεις που μιλάμε, όπως των πολιτισμένων ανθρώπων, ή των ανδρών στο σφρίγος της ζωής, ή των ανδρών κάτω από κάποια άλλη κατάσταση ή σχέση. Τώρα, ότι μπορεί να είναι η έκταση του πεδίου, εντός του οποίου βρίσκονται όλα τα αντικείμενα του λόγου μας, ότι το πεδίο μπορεί ορθά να ονομαστεί το σύμπαν του λόγου. Επιπλέον, αυτό το σύμπαν του λόγου είναι με τη στενή έννοια το απόλυτο αντικείμενο του λόγου.

Θεραπεία της προσθήκης στη λογική
Ο Μπουλ συνέλαβε «εκλεκτικά σύμβολα» των ειδών τους ως μια αλγεβρική δομή. Αλλά αυτή η γενική έννοια δεν ήταν στη διάθεσή του: δεν είχε τον τυπικό διαχωρισμό στην αφηρημένη άλγεβρα (αξιωματική) με τις ιδιότητες των πράξεων. Το έργο του ήταν μια αρχή για την άλγεβρα των συνόλων, και πάλι δεν είναι μια έννοια πως διαθέτει ο Μπουλ ως γνωστό μοντέλο. Οι πρωτοποριακές προσπάθειες του συνάντησαν ιδιαίτερες δυσκολίες, και η θεραπεία της προσθήκης ήταν μια προφανής δυσκολία κατά τις πρώτες ημέρες.

Ο Μπουλ αντικατέστησε τη λειτουργία του πολλαπλασιασμού από τη λέξη «και» και της πρόσθεσης από τη λέξη «ή». Αλλά στο αρχικό σύστημα του Μπουλ, το συν(+) ήταν μια δυαδική πράξη: στη γλώσσα της θεωρίας συνόλων θα αντιστοιχούσε μόνο σε ασυνεχής ένωση των υποσυνόλων. Μετέπειτα συγγραφείς άλλαξαν την ερμηνεία, συνήθως στην ανάγνωση της αποκλειστικής διάζευξης, ή στους όρους της θεωρία συνόλων της συμμετρικής διαφοράς. Αυτό το βήμα σημαίνει ότι η πρόσθεση ορίζεται πάντα.

Στην πραγματικότητα δεν υπάρχει άλλη δυνατότητα, ότι το συν(+) πρέπει να διαβαστεί ως λογική διάζευξη. Αυτή η άλλη πιθανότητα επεκτείνεται από την υπόθεση της ασυνεχούς ένωσης, στην οποία αποκλειστικά ή και μη αποκλειστικά δίνουν την ίδια απάντηση. Ο χειρισμός αυτής της ασάφειας ήταν ένα πρώιμο πρόβλημα της θεωρίας, αντανακλώντας στη σύγχρονη χρήση των δακτυλίων Μπουλ και της άλγεβρας Μπουλ (που είναι απλώς διαφορετικές όψεις ενός τύπου δομής). Ο Μπουλ και ο Τζέβον ασχολήθηκαν σ’αυτό ακριβώς το θέμα το 1863, στη μορφή της σωστής αξιολόγησης του x + x ο Τζέβον υποστήριξε το αποτέλεσμα x, το οποίο είναι σωστό για το συν(+) ως λογική διάζευξη. Ο Μπουλ κράτησε το αποτέλεσμα ως κάτι απροσδιόριστο. Ο Μπουλ υποστήριξε το αποτέλεσμα 0, το οποίο είναι σωστό για την αποκλειστική διάζευξη, γιατί είδε την εξίσωση x + x = 0, ως συνεπαγόμενη της x = 0, μια λανθασμένη αναλογία με τη συνήθη άλγεβρα.

Θεωρία Πιθανοτήτων
Το δεύτερο μέρος των Νόμων της Σκέψης περιείχε μια αντίστοιχη προσπάθεια για να ανακαλύψει μια γενική μέθοδο σε πιθανότητες. Εδώ ο στόχος ήταν αλγοριθμικός: από τις δεδομένες πιθανότητες οποιουδήποτε συστήματος εκδηλώσεων, να καθορίσει την επακόλουθη πιθανότητα οποιουδήποτε άλλου συστήματος λογικά συνδεδεμένου με τα γεγονότα αυτά.

Κληροδότημα
Η Άλγεβρα Μπουλ πήρε το όνομά του, όπως ο κρατήρας Μπουλ στη Σελήνη. Η λέξη-κλειδί Μπουλ αντιπροσωπεύει έναν τύπο δεδομένων αλήθειας σε πολλές γλώσσες προγραμματισμού, αν και η Pascal με τη Java, μεταξύ άλλων, χρησιμοποιούν όλη τη λέξη Μπούλεαν. Η βιβλιοθήκη, το υπόγειο αμφιθεατρικό συγκρότημα διαλέξεων και το Κέντρο Έρευνας Πληροφορικής Μπουλ στο Πανεπιστημιακό Κολέγιο του Κορκ πήραν το όνομά του προς τιμήν του. Στο Μπράκνελ του Μπάρκσιρ, υπάρχει η Λεωφόρος Μπουλ, η οποία πήρε το όνομά της απ’ αυτόν.

Η ανάπτυξη του 19ου αιώνα
Το έργο του Μπουλ επεκτάθηκε και τελειοποιήθηκε από μια σειρά από συγγραφείς, αρχίζοντας με τον Ουϊλιαμ Στάνλει Τζέβονς. Ο Αύγουστος Ντε Μόργκαν είχε εργαστεί στη λογική των σχέσεων, και ο Τσαρλς Σάντερς Περς ολοκλήρωσε τη δουλειά του Μπουλ κατά τη δεκαετία του 1870. Άλλα σημαντικά πρόσωπα ήταν ο Πλάτων Σεργκέιβ Πορέτσκι, και ο Ουϊλιαμ Έρνεστ Τζόνσον. Η ιδέα της δομής της Άλγεβρας Μπουλ στις αντίστοιχες δηλώσεις του προτασιακού λογισμού πιστώνεται στον Χιου Μακόλλ(1877), στο έργο που έκανε 15 χρόνια αργότερα από τον Τζόνσον. Έρευνες από τις εξελίξεις αυτές είχαν δημοσιευθεί από τους Έρνστ Σρούντερ, Λουί Κουτουρά και Κλάρενς Έρβινγκ Λίβις.

Η ανάπτυξη του 20ου αιώνα
Το 1921 ο οικονομολόγος Τζων Μέυναρντ Κέυνς δημοσίευσε ένα βιβλίο για τη θεωρία πιθανοτήτων, Μια Πραγματεία των Πιθανοτήτων. Ο Κέυνς πίστευε ότι ο Μπουλ είχε κάνει ένα θεμελιώδες λάθος στον ορισμό της ανεξαρτησίας που πάσχει μεγάλο μέρος της ανάλυσής του. Στο βιβλίο του Η Τελευταία Πρόκληση Προβλήματος, ο Ντέιβιντ Μίλερ παρέχει μια γενική μέθοδο σε συμφωνία με το σύστημα του Μπουλ και προσπαθεί να λύσει τα πρόβληματα που αναγωρίστηκαν νωρίτερα από τον Κέυνς και άλλους. Ο Θεόδωρος Χέλπεριν έδειξε πολύ νωρίτερα ότι ο Μπουλ είχε χρησιμοποιήσει το σωστό μαθηματικό ορισμό της ανεξαρτησίας στην οποία είχε επεξεργαστεί τα προβλήματά του.

Το έργο του Μπουλ και των υποστηρικτών της λογικής αρχικά φάνηκε να μην έχει κάποια χρήση της μηχανικής. Ο Κλοντ Σάνον παρακολούθησε ένα μάθημα φιλοσοφίας στο Πανεπιστήμιο του Μίσιγκαν, που τον εισήγαγε στις μελέτες του Μπουλ. Ο Σάνον αναγνώρισε ότι το έργο του Μπουλ μπορεί να αποτελέσει τη βάση των μηχανισμών και διαδικασιών στον πραγματικό κόσμο και ότι, επομένως, ήταν ιδιαίτερα σημαντικό. Το 1937 ο Σάνον πήγε για να γράψει μια διατριβή μάστερ, στο Τεχνολογικό Ινστιτούτο Μασαχουσέτης, στο οποίο έδειξε πώς η Άλγεβρα Μπουλ θα μπορούσε να βελτιστοποιήσει το σχεδιασμό των συστημάτων του ρελέ και στη συνέχεια πως θα χρησιμοποιούνται στις συσκευές τηλεφώνων δρομολόγησης. Απέδειξε επίσης ότι τα κυκλώματα με ρελέ θα μπορούσαν να λύσουν τα προβλήματα της Άλγεβρας Μπουλ. Η χρήση των ηλεκτρικών διακοπτών στη λογική διαδικασία είναι η βασική ιδέα που κρύβεται πίσω από όλες τις σύγχρονους ηλεκτρονικούς ψηφιακούς υπολογιστές. Ο Βίκτορ Σεστακόβ στο Κρατικό Πανεπιστήμιο της Μόσχας (1907-1987) πρότεινε μια θεωρία των ηλεκτρικών διακοπτών με βάση της λογικής Μπουλ ακόμα νωρίτερα απ’ ό,τι έκανε ο Κλοντ Σάνον το 1935 σχετικά με την μαρτυρία των Σοβιετικών υποστηρικτών της λογικής και των μαθηματικών Σοφία Γενιόσκοβα, Γκαζ Ραπόπορτ, Ρέλοαντ Νταμπρούσεν, Λιούπανοφ, Μεντβέντεφ και Ουσπένσκι, αν και παρουσίασαν τις πανεπιστημιακές τους εργασίες το ίδιο έτος, 1938. Αλλά η πρώτη δημοσίευση του αποτελέσματος του Σεστακόβ πραγματοποιήθηκε μόνο το 1941 (στα ρωσικά). Ως εκ τούτου, η Άλγεβρα Μπουλ έγινε το θεμέλιο της πρακτικής του σχεδιασμού ψηφιακών κυκλωμάτων, μέσω των Σάνον και Σεστακόβ , υπό την προϋπόθεση της θεωρητικής βάσεως για την ψηφιακή εποχή.

Εκτύπωση
Εγγραφείτε στο ενημερωτικό μας δελτίο και γίνετε μέλη της κοινότητας μας.